Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej:

---

a) Czworokąt ABCD jest rombem, więc AD||BC.

AD||BC, więc trójkąty AFD i BEF są podobne na podstawie cechy KKK.

Obliczamy skalę podobieństwa trójkąta BFE do trójkąta AFD:

$k=\frac{\left|BE\right|}{\left|AD\right|}=\frac{\frac{1}{2}\left|AD\right|}{\left|AD\right|}=\frac{1}{2}$  

---

Z podobieństwa trójkątów BEF i AFD:

$\frac{\left|QE\right|}{\left|DP\right|}=k$  

$\frac{\left|QE\right|}{4}=\frac{1}{2}\mid \cdot 4$  

$\left|QE\right|=2$  

oraz

$\frac{\left|BF\right|}{\left|AF\right|}=k$  

$\frac{\left|BF\right|}{\left|AB\right|+\left|BF\right|}=k$   

$\frac{\left|BF\right|}{6+\left|BF\right|}=\frac{1}{2}$  

Mnożymy na krzyż.

$2\left|BF\right|=6+\left|BF\right|$  

$\left|BF\right|=6$  

---

Obliczamy pola: rombu, trójkąta AFD, trójkąta BFE, trójkąta BFC:

$P_{\text{ABCD}}=\left|AB\right|\cdot \left|DP\right|=6\cdot 4=24$  

$P_{\text{AFD}}=\frac{1}{2}\cdot \left|AF\right|\cdot \left|DP\right|=\frac{1}{2}\cdot \left(\left|AB\right|+\left|BF\right|\right)\cdot \left|DP\right|=\frac{1}{2}\cdot \left(6+6\right)\cdot 4=\frac{1}{2}\cdot 12\cdot 4=6\cdot 4=24$  

$P_{\text{BFE}}=\frac{1}{2}\cdot \left|BF\right|\cdot \left|QE\right|=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 2=6$  

$P_{\text{BFC}}=\frac{1}{2}\cdot \left|BF\right|\cdot \left|CR\right|=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 4=3\cdot 4=12$  

---

Pole trapezu ABED obliczamy jako różnicę pól trójkątów AFD i BFE:

$P_{\text{ABED}}=P_{\text{AFD}}-P_{\text{BFE}}=24-6=18$  

---

Pole trapezu AFCD obliczamy jako sumę pola rombu i pola trójkąta BFC:

$P_{\text{AFCD}}=P_{\text{ABCD}}+P_{\text{BFC}}=24+12=36$  

---

Odp. Pole trapezu ABED jest równe 18. Pole trapezu AFCD jest równe 36.

---

---

b) Jeżeli trapezy ABED i AFCD byłyby podobne, wówczas skala podobieństwa, liczona na dwa sposoby: jako stosunek odpowiadających sobie długości boków oraz jako kwadrat ilorazu pól tych trapezów, byłaby taka sama.

Bokowi AD trapezu ABED odpowiada bok AF trapezu AFCD, więc:

$k_1=\frac{\left|AD\right|}{\left|AF\right|}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$  

---

Stosunek pól figur podobnych równy jest kwadratowi skali podobieństwa. Zatem:

$k_2^2=\frac{P_{\text{ABED}}}{P_{\text{AFCD}}}$  

$k_2^2=\frac{18}{36}$  

$k_2^2=\frac{2}{4}$  

$k_2=\frac{\sqrt{2}}{2}$  

---

Otrzymaliśmy:

$k_1\ne k_2$  

Skala podobieństwa dwóch figur liczona na dwa różne sposoby daje inne wyniki, więc trapezy ABED i AFCD nie są podobne, co należało dowieść.