Oznaczymy niewiadome:

x- długość jednego boku prostokąta

y- długość drugiego boku prostokąta

Obwód prostokąta jest równy 56 cm, co można opisać równaniem:

$2x+2y=56$  

Gdy zwiększymy długość jednego boku o 2 cm, a drugiego o 6 cm, to proporcja między długościami tych boków wyniesie 1:3, co można zinterpretować na dwa sposoby:

$\frac{x+2}{y+6}=\frac{1}{3}\text{lub}\frac{y+6}{x+2}=\frac{1}{3}$  

 

Przypadek 1.

$\frac{x+2}{y+6}=\frac{1}{3}$  

Zatem otrzymujemy:

$\{\begin{array}{l}2x+2y=56\mid :2\\ \frac{x+2}{y+6}=\frac{1}{3}\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x+y=28\\ 3\left(x+2\right)=y+6\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x+y=28\\ 3x+6=y+6\mid -6\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x+y=28\\ 3x=y\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x+3x=28\\ 3x=y\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}4x=28\mid :4\\ y=3x\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=7\\ y=3\cdot 7\end{array}$   

$\{\begin{array}{l}x=7\\ y=21\end{array}$  

 

Przypadek 2.

$\frac{y+6}{x+2}=\frac{1}{3}$  

Zatem otrzymujemy:

$\{\begin{array}{l}2x+2y=56\mid :2\\ \frac{y+6}{x+2}=\frac{1}{3}\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x+y=28\\ 3\left(y+6\right)=x+2\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x+y=28\\ 3y+18=x+2\mid -2\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x+y=28\\ 3y+16=x\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}3y+16+y=28\mid -16\\ 3y+16=x\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}4y=12\mid :4\\ x=3y+16\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=3\\ x=3\cdot 3+16\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=3\\ x=9+16\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=3\\ x=25\end{array}$  

 

Odp. Długości boków wyjściowego prostokąta wynoszą 7 cm i 21 cm lub 3 cm i 25 cm.