a)

Część serduszka jest trójkątem prostokątnym o przyprostokątnych długości $a$, a jej przeciwprostokątna składa się z czterech promieni półokręgów. Po oznaczeniu tych promieni przez $r$ i skorzystaniu z twierdzenia Pitagorasa, możemy zapisać:

$a^2+a^2={\left(4r\right)}^2$

$2a^2=16r^2|:16$

$\frac{a^2}{8}=r^2|\sqrt{},r>0,a>0$

$\frac{a}{\sqrt{8}}=r$

$r=\frac{a}{\sqrt{8}}$

$r=\frac{a}{\sqrt{4\cdot 2}}$

$r=\frac{a}{2\sqrt{2}}$

Po usunięciu niewymierności z mianownika otrzymujemy:

$r=\frac{a}{2\sqrt{2}}\cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{a\sqrt{2}}{2\cdot 2}=\frac{a\sqrt{2}}{4}$

Zatem otrzymaliśmy, że promienie półkoli mają długość:

$r=\frac{a\sqrt{2}}{4}$

Obliczmy obwód serduszka. Będzie to suma długości dwóch odcinków o długości $a$ oraz dwóch połówek obwodu koła o promieniu $r$. Zatem:

$Obw.=2a+2\cdot \frac{1}{2}\cdot 2\pi r=2a+2\pi \cdot \frac{a\sqrt{2}}{4}=2a+\frac{\pi a\sqrt{2}}{2}$

Obliczmy pole serduszka. Będzie to suma pola trójkąta prostokątnego o obu przyprostokątnych długości $a$ oraz dwóch pól półkoli o promieniu $r$. Zatem:

$P=\frac{1}{2}\cdot a\cdot a+2\cdot \frac{1}{2}\cdot \pi r^2=\frac{a^2}{2}+\pi \cdot {\left(\frac{a\sqrt{2}}{4}\right)}^2=$

$=\frac{a^2}{2}+\pi \cdot \frac{a^2\cdot 2}{16}=\frac{a^2}{2}+\frac{a^2\pi }{8}=\frac{1}{2}{a}^2+\frac{1}{8}\pi a^2$ 

Zatem otrzymaliśmy, że obwód serduszka wynosi $2a+\frac{\pi a\sqrt{2}}{2}$, a pole tego serduszka wynosi $\frac{1}{2}{a}^2+\frac{1}{8}\pi a^2$.

---

b)

Serduszko składa się z kwadratu o boku $a$ oraz dwóch półkoli o średnicy $a$, zatem:

$d=a$

$2r=a|:2$

$r=\frac{a}{2}$

Zatem otrzymaliśmy, że promienie półkoli mają długość:

$r=\frac{a}{2}$

Obliczmy obwód serduszka. Będzie to suma długości dwóch odcinków o długości $a$ oraz dwóch połówek obwodu koła o promieniu $r$. Zatem:

$Obw.=2a+2\cdot \frac{1}{2}\cdot 2\pi r=2a+2\pi \cdot \frac{a}{2}=2a+\pi a$

Obliczmy pole serduszka. Będzie to suma pola kwadratu o boku długości $a$ oraz dwóch pól półkoli o promieniu $r$. Zatem:

$P=a\cdot a+2\cdot \frac{1}{2}\cdot \pi r^2=a^2+\pi \cdot {\left(\frac{a}{2}\right)}^2=$

$=a^2+\pi \cdot \frac{a^2}{4}=a^2+\frac{1}{4}\pi a^2$ 

Zatem otrzymaliśmy, że obwód serduszka wynosi $2a+\pi a$, a pole serduszka wynosi $a^2+\frac{1}{4}\pi a^2$.

---

c)

Część serduszka jest trójkątem równoramiennym o ramionach długości $a$ i kącie między ramionami o mierze $60^{\circ }$. Oznaczając jego kąt przy podstawie przez $\alpha$ i korzystając z faktu, że suma miar kątów trójkąta wynosi $180^{\circ }$, mamy:

$\alpha +\alpha +60^{\circ }=180^{\circ }$

$2\alpha +60^{\circ }=180^{\circ }|-180^{\circ }$

$2\alpha =120^{\circ }|:2$

$\alpha =60^{\circ }$

Zatem ten trójkąt ma wszystkie kąty o mierze $60^{\circ }$, czyli jest trójkątem równobocznym o wszystkich bokach długości $a$.

Na trzecim boku trójkąta leżą dwa półkola o równych promieniach $r$, zatem:

$4r=a|:4$

$r=\frac{a}{4}$

Zatem otrzymaliśmy, że promienie półkoli mają długość:

$r=\frac{a}{4}$

Obliczmy obwód serduszka. Będzie to suma długości dwóch odcinków o długości $a$ oraz dwóch połówek obwodu koła o promieniu $r$. Zatem:

$Obw.=2a+2\cdot \frac{1}{2}\cdot 2\pi r=2a+2\pi \cdot \frac{a}{4}=2a+\frac{1}{2}\pi a$

Obliczmy pole serduszka. Będzie to suma pola trójkąta równobocznego o boku długości $a$ oraz dwóch pól półkoli o promieniu $r$. Zatem:

$P=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}+2\cdot \frac{1}{2}\cdot \pi r^2=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}+\pi \cdot {\left(\frac{a}{4}\right)}^2=$

$=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}+\pi \cdot \frac{a^2}{16}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}+\frac{a^2\pi }{16}=\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^2+\frac{1}{16}\pi a^2$ 

Zatem otrzymaliśmy, że obwód serduszka wynosi $2a+\frac{1}{2}\pi a$, a pole serduszka wynosi $\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^2+\frac{1}{16}\pi a^2$.