Nierówność trójkąta Dla dowolnego trójkąta suma długości jego dwóch dowolnych boków jest dłuższa od długości jego trzeciego boku. Zatem dla trójkąta o bokach długości $a$, $b$ oraz $c$ zachodzi: $a+b>c$  oraz  $a+c>b$  oraz  $b+c>a$

---

a)

Sprawdźmy, czy istnieje trójkąt równoramienny $ABC$ o bokach długości $4\text{cm}$ oraz $2\text{cm}$.

Rozpatrzmy dwa przypadki.

PRZYPADEK 1

Odcinek $AB$ jest podstawą trójkąta i ma długość $4\text{cm}$, a odcinki $AC$ i $BC$ są ramionami trójkąta i mają długość $2\text{cm}$. Zatem trójkąt ma boki o długościach $2\text{cm}$, $2\text{cm}$ oraz $4\text{cm}$.

Aby sprawdzić, czy taki trójkąt istnieje, sprawdźmy, czy zachodzi nierówność trójkąta. W tym celu sprawdźmy, czy suma długości dwóch krótszych odcinków jest większa od długości najdłuższego odcinka.

Suma długości dwóch krótszych odcinków wynosi:

$2\text{cm}+2\text{cm}=4\text{cm}$

Najdłuższy odcinek ma długość:

$4\text{cm}$

Zatem suma długości dwóch krótszych odcinków nie jest większa od długości najdłuższego odcinka, ponieważ jest równa tej długości.

Zatem nie jest spełniona nierówność trójkąta, a więc taki trójkąt nie istnieje.

PRZYPADEK 2

Odcinek $AB$ jest podstawą trójkąta i ma długość $2\text{cm}$, a odcinki $AC$ i $BC$ są ramionami trójkąta i mają długość $4\text{cm}$. Zatem trójkąt ma boki o długościach $2\text{cm}$, $4\text{cm}$ oraz $4\text{cm}$.

Aby sprawdzić, czy taki trójkąt istnieje, sprawdźmy, czy zachodzi nierówność trójkąta. W tym celu sprawdźmy, czy suma długości dwóch krótszych odcinków jest większa od długości najdłuższego odcinka.

Suma długości dwóch krótszych odcinków wynosi:

$2\text{cm}+4\text{cm}=6\text{cm}$

Najdłuższy odcinek ma długość:

$4\text{cm}$

Zatem suma długości dwóch krótszych odcinków jest większa od długości najdłuższego odcinka, ponieważ $6\text{cm}>4\text{cm}$.

Zatem jest spełniona nierówność trójkąta, a więc taki trójkąt istnieje.

---

b)

Sprawdźmy, czy istnieje trójkąt równoramienny $ABC$ o bokach długości $2\text{cm}$ oraz $3\text{cm}$.

Rozpatrzmy dwa przypadki.

PRZYPADEK 1

Odcinek $AB$ jest podstawą trójkąta i ma długość $2\text{cm}$, a odcinki $AC$ i $BC$ są ramionami trójkąta i mają długość $3\text{cm}$. Zatem trójkąt ma boki o długościach $2\text{cm}$, $3\text{cm}$ oraz $3\text{cm}$.

Aby sprawdzić, czy taki trójkąt istnieje, sprawdźmy, czy zachodzi nierówność trójkąta. W tym celu sprawdźmy, czy suma długości dwóch krótszych odcinków jest większa od długości najdłuższego odcinka.

Suma długości dwóch krótszych odcinków wynosi:

$2\text{cm}+3\text{cm}=5\text{cm}$

Najdłuższy odcinek ma długość:

$3\text{cm}$

Zatem suma długości dwóch krótszych odcinków jest większa od długości najdłuższego odcinka, ponieważ $5\text{cm}>3\text{cm}$.

Zatem jest spełniona nierówność trójkąta, a więc taki trójkąt istnieje.

PRZYPADEK 2

Odcinek $AB$ jest podstawą trójkąta i ma długość $3\text{cm}$, a odcinki $AC$ i $BC$ są ramionami trójkąta i mają długość $2\text{cm}$.Zatem trójkąt ma boki o długościach $2\text{cm}$, $2\text{cm}$ oraz $3\text{cm}$.

Aby sprawdzić, czy taki trójkąt istnieje, sprawdźmy, czy zachodzi nierówność trójkąta. W tym celu sprawdźmy, czy suma długości dwóch krótszych odcinków jest większa od długości najdłuższego odcinka.

Suma długości dwóch krótszych odcinków wynosi:

$2\text{cm}+2\text{cm}=4\text{cm}$

Najdłuższy odcinek ma długość:

$3\text{cm}$

Zatem suma długości dwóch krótszych odcinków jest większa od długości najdłuższego odcinka, ponieważ $4\text{cm}>3\text{cm}$.

Zatem jest spełniona nierówność trójkąta, a więc taki trójkąt istnieje.