Przyjmijmy oznaczenia:

$\left|\sphericalangle ABC\right|=\alpha$

$\left|\sphericalangle BCD\right|=\beta$

Wiemy, że suma miar kątów przy jednym ramieniu trapezu wynosi $180^{\circ }$, zatem:

$\alpha +\beta =180^{\circ }$

Narysowane niebieskie półproste to dwusieczne, zatem:

$\left|\sphericalangle ABP\right|=\left|\sphericalangle PBC\right|=\frac{\alpha }{2}$

$\left|\sphericalangle BCP\right|=\left|\sphericalangle PCD\right|=\frac{\beta }{2}$

Suma miar kątów w trójkącie $PBC$ wynosi $180^{\circ }$, zatem:

$\left|\sphericalangle BPC\right|+\left|\sphericalangle PBC\right|+\left|\sphericalangle BCP\right|=180^{\circ }$

$\left|\sphericalangle BPC\right|+\frac{\alpha }{2}+\frac{\beta }{2}=180^{\circ }$

$\left|\sphericalangle BPC\right|+\frac{\alpha +\beta }{2}=180^{\circ }$

$\left|\sphericalangle BPC\right|+\frac{180^{\circ }}{2}=180^{\circ }$

$\left|\sphericalangle BPC\right|+90^{\circ }=180^{\circ }|-90^{\circ }$

$\left|\sphericalangle BPC\right|=90^{\circ }$

Kąty $BPC$ i $KPC$ to kąty przyległe, zatem:

$\left|\sphericalangle KPC\right|=180^{\circ }-\left|\sphericalangle BPC\right|=180^{\circ }-90^{\circ }=90^{\circ }$

Zatem otrzymaliśmy, że kąt $KPC$ ma miarę $90^{\circ }$, co należało uzasadnić.