Treść:

W chwili początkowej $\left(t=0\right)$ filiżanka z gorącą kawą znajduje się w pokoju, a temperatura tej kawy jest równa $80^{\circ }\text{C}.$ Temperatura w pokoju (temperatura otoczenia) jest stała i równa $20^{\circ }\text{C}.$ Temperatura $T$ tej kawy zmienia się w czasie zgodnie z zależnością 

$T\left(t\right)=\left(T_p-T_z\right)\cdot k^{-t}+T_z$ dla $t\ge 0$

gdzie:

$T$ - temperatura kawy wyrażona w stopniach Celsjusza,

$t$ -czas wyrażony w minutach, liczony od chwili początkowej,

$T_p$ - temperatura początkowa kawy wyrażona w stopniach Celsjusza,

$k$ - stała charakterystyczna dla danej cieczy.

Po $10$ minutach, licząc od chwili początkowej, kawa ostygła do temperatury $65^{\circ }\text{C}.$

Oblicz temperaturę tej kawy po następnych pięciu minutach. Wynik podaj w stopniach Celsjusza, w zaokrągleniu do jedności. Zapisz obliczenia.

---

Rozwiązanie:

Wypisujemy dane z treści zadania.  Temperatura początkowa kawy $\left(T_p\right)$ i temperatura otoczenia $\left(T_z\right)$ są równe

$T_p=80^{\circ }\text{C}$

$T_z=20^{\circ }\text{C}$

Wiemy, że po $10$ minutach temperatura kawy obniżyła się do $65^{\circ }\text{C}.$ Oznacza to, że

$T\left(10\right)=65$

Korzystając z podanego w treści zadania wzoru, temperaturę kawy po $10$ minutach, licząc od chwili początkowej, możemy zapisać w następujący sposób:

$T\left(10\right)=\left(80-20\right)\cdot k^{-10}+20=60\cdot k^{-10}+20$

Wobec tego otrzymujemy równanie z niewiadomą $k$:

$60\cdot k^{-10}+20=65|-20$

$60\cdot k^{-10}=45|:60$

$k^{-10}=\frac{45}{60}$

Czyli

$k^{-10}=\frac{3}{4}$

---

Mamy obliczyć temperaturę kawy po kolejnych pięciu minutach, czyli po $15$ minutach, licząc od chwili początkowej. Korzystamy z podanego wzoru i otrzymujemy:

$T\left(15\right)=\left(80-20\right)\cdot k^{-15}+20=60\cdot k^{-15}+20$

Zauważmy, że pozostało nam wyznaczyć $k^{-15}.$ Korzystamy z praw działań na potęgach i zapisujemy $k^{-15}$ za pomocą wyrażenia $k^{-10},$ którego wartość już wyznaczyliśmy.

$k^{-15}=k^{-10-5}=k^{-10}\cdot k^{-5}=k^{-10}\cdot k^{\frac{1}{2}\cdot \left(-10\right)}=k^{-10}\cdot {\left(k^{-10}\right)}^{\frac{1}{2}}=k^{-10}\cdot \sqrt{k^{-10}}$

Wobec tego otrzymujemy, że

$k^{-15}=k^{-10}\cdot \sqrt{k^{-10}}=\frac{3}{4}\cdot \sqrt{\frac{3}{4}}=\frac{3}{4}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{8}$

Wstawiamy otrzymaną wartość $k^{-15}$ do wzoru na $T\left(15\right)$ i otrzymujemy:

$T\left(15\right){=}^{15}\cancel{60}\cdot \frac{3\sqrt{3}}{{\cancel{8}}_2}+20=\frac{45\sqrt{3}}{2}+20=22,5\sqrt{3}+20$

Zaokrąglamy otrzymany wynik do jedności:

 $T\left(15\right)=22,5\sqrt{3}+20=38,971\dots +20=58,971\dots \approx \underline{\underline{59\left[{}^{\circ }\text{C}\right]}}$ 

---

Odp. Temperatura kawy po następnych pięciu minutach wynosiła około $59^{\circ }\text{C}.$