Aby równanie miało ono dwa różne rozwiązania należy założyć, że

$\Delta >0$

Mamy

$\Delta ={\left(-\left(m-4\right)\right)}^2-4\cdot 1\cdot \left(m^2-7m+12\right)=m^2-8m+16-4m^2+28m-48=-3m^2+20m-32$

Zatem rozwiążemy nierówność

$-3m^2+20m-32>0$

Obliczmy

${\Delta }_m=20^2-4\cdot \left(-3\right)\cdot \left(-32\right)=400-384=16,\sqrt{{\Delta }_m}=4$

$m=\frac{-20-4}{2\cdot \left(-3\right)}=\frac{-24}{-6}=4\text{lub}m=\frac{-20+4}{2\cdot \left(-3\right)}=\frac{-16}{-6}=\frac{8}{3}$

Szkicujemy parabolę i odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności:

Stąd

$m\in \left(\frac{8}{3},4\right)$

---

Rozwiązujemy warunek podany w zadaniu

$x_1^3+x_2^3<5x_1^2{x}_2+5x_1{x}_2^2$

Powyższą nierówność zapiszemy przy użyciu wzorów Viete'a. Lewą stronę nierówności rozkładamy, korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na sumę sześcianów.

$\left(x_1+x_2\right)\left(x_1^2-x_1{x}_2+x_2^2\right)<5x_2{x}_2\cdot \left(x_1+x_2\right)$

$\left(x_1+x_2\right)\left(x_2^2-x_1{x}_2+x_2^2\right)-5x_1{x}_2\cdot \left(x_1+x_2\right)<0$

Wyłączamy wspólny czynnik przed nawias i otrzymujemy

$\left(x_1+x_2\right)\left(x_1^2-x_1{x}_2+x_2^2-5x_1{x}_2\right)<0$

$\left(x_1+x_2\right)\left(x_1^2-6x_1{x}_2+x_2^2\right)<0$

Drugi z powyższych nawiasów przekształcamy w ten sposób, aby otrzymać wzór na kwadrat sumy.

$\left(x_1+x_2\right)\left(x_1^2+2x_1{x}_2+x_2^2-8x_1{x}_2\right)<0$

$\left(x_1+x_2\right)\left({\left(x_1+x_2\right)}^2-8x_1{x}_2\right)<0$

Ze wzorów Viete'a mamy

$x_1+x_2=\frac{-b}{a}=-\frac{-\left(m-4\right)}{1}=m-4$

$x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}=\frac{m^2-7m+12}{1}=m^2-7m+12$

Zatem

$\left(m-4\right)\left({\left(m-4\right)}^2-8\left(m^2-7m+12\right)\right)<0$

$\left(m-4\right)\left(m^2-8m+16-8m^2+56m-96\right)<0$

$\left(m-4\right)\left(-7m^2+48m-80\right)<0$

Zauważmy, że powyższa nierówność jest nierównością wielomianową. Znajdujemy pierwiastki wielomianu.

$m-4=0$

$m=4$

Oraz

$-7m^2+48m-80=0$

$\Delta =48^2-4\cdot \left(-7\right)\cdot \left(-80\right)=2304-2240=64,\sqrt{\Delta }=8$

Zatem

$m=\frac{-48-8}{2\cdot \left(-7\right)}=\frac{-56}{-14}=4$

lub

$m=\frac{-48+8}{-14}=\frac{-40}{-14}=\frac{20}{7}$

Zauważmy, że wielomian znajdujący się po lewej stronie nierówności ma dwa pierwiastki, z czego jen jest podwójny. Współczynnik przy najwyższej potędze wielomianu jest ujemny, zatem szkicowanie wielomianu zaczniemy od prawej strony, "od dołu".

Z rysunku odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności:

   $m\in \left(\frac{20}{7},+\infty \right)\backslash \left\{4\right\}$  

---

Ostateczną odpowiedzią będzie część wspólna zbiorów, które otrzymaliśmy. Zauważmy, że

$\frac{8}{3}=\frac{56}{21}<\frac{60}{21}=\frac{20}{7}$

Stąd ostatecznie mamy

  $\underline{\underline{m\in \left(\frac{20}{7},4\right)}}$