Zauważmy, że ze względu na to jakiej postaci jest wielomian wiemy, że $x=k$ jest jednym z trzech pierwiastków. Wyznaczmy wartości dwóch pozostałych, w tym celu rozwiążemy równanie

$x^2-8x+12=0$

Obliczmy

$\Delta ={\left(-8\right)}^2-4\cdot 1\cdot 12=64-48=16,\sqrt{\Delta }=4$

$x=\frac{8-4}{2}=\frac{4}{2}=2\text{lub}x=\frac{8+4}{2}=\frac{12}{2}=6$

Mamy zatem trzy pierwiastki - wyrazy ciągu (nie w kolejności)

$2,6,k$

Jako, że ciąg ma być rosnący, to $2$ zawsze musi być wyrazem o mniejszym indeksie niż $6$. Jedyne co będziemy zmieniać to pozycję wyrazu o wartości $k$. Aby trzy pierwiastki były trzema kolejnymi wyrazami rosnącego ciągu geometrycznego, może zachodzić sytuacja

• Mamy $k$ jako ostatni wyraz.
  
  $2k=6^2$
  
  $k=18$ 
  
  Wtedy mamy ciąg: $2,6,18$.
  
  
• $k$ jest środkowym wyrazem.
  
  $k^2=2\cdot 6$
  
  $k^2=12$ 
  
    $k=-2\sqrt{3}\text{lub}k=2\sqrt{3}$
  
  Jako, że ciąg ma być rosnący, to
  
  $k=2\sqrt{3}$
  
  Wedy mamy ciąg: $2,2\sqrt{3},6$.
  
  
• $k$  jest pierwszym wyrazem.
  
  $6k=2^2$ 
  
    $6k=4$ 
  
    $k=\frac{2}{3}$
  
  Wtedy mamci ciąg: $\frac{2}{3},2,6$.

Zatem

$\underline{k\in \left\{\frac{2}{3},2\sqrt{3},18\right\}}$