Dowolnym wielomian stopnia trzeciego o współczynnikach całkowitych ma postać

$W\left(x\right)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$

gdzie $a$, $b$, $c$, $d\in \mathbb{Z}$. Jeśli miałby spełniać warunki podane w zadaniu, to

$\{\begin{array}{l}W\left(2\right)=3\\ W\left(-2\right)=2\end{array}\left(\ast \right)$  

Mamy

$\{\begin{array}{l}a\cdot 2^3+b\cdot 2^2+c\cdot 2+d=3\\ a\cdot {\left(-2\right)}^3+b\cdot {\left(-2\right)}^2+c\cdot \left(-2\right)+d=2\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}8a+4b+2c+d=3\\ -8a+4b-2c+d=2\end{array}$  

Dodajmy równania stronami. Otrzymamy

$8b+2d=5$

$2\left(4b+d\right)=5$

Zauważmy, że lewa strona równania jest podzielna przez $2$, a prawa strona nie. Zatem nie istnieją takie liczby całkowite $b$ oraz $d$, aby takie równanie było spełnione (któraś wartość musiałaby być ułamkiem, aby równanie było prawdziwe).

Stąd nie istnieje wielomian o współczynnikach całkowitych spełniający układ $\left(\ast \right)$, co należało wykazać.