a)

Dla $p=1$ równanie ma postać

$\left(x+3\right)\left(x^2+5x+2^2\right)=0$

$\left(x+3\right)\left(x^2+5x+4\right)=0$

$\left(x+3\right)\left(x^2+x+4x+4\right)=0$

$\left(x+3\right)\left(x\left(x+1\right)+4\left(x+1\right)\right)=0$

$\left(x+3\right)\left(x+1\right)\left(x+4\right)=0$

$x+3=0\text{lub}x+1=0\text{lub}x+4=0$

$x=-3\text{lub}x=-1\text{lub}x=-4$

Stąd

$\underline{x\in \left\{-4,-3,-1\right\}}$  

---

---

b)

Równanie

$\left(x+3\right)\left(x^2+\left(p+4\right)x+{\left(p+1\right)}^2\right)=0$

ma jedno rozwiązanie $x=-3$ niezależnie od wartości parametru $p$. Stąd, aby równanie miało tylko to jedno rozwiązanie mogą zachodzić dwie sytuacje: równanie nie ma rozwiązań lub ma jedno rozwiązanie równe $x=-3$.

---

1. Równanie

$x^2+\left(p+4\right)x+{\left(p+1\right)}^2=0$ 

powinno nie mieć rozwiązań. To zachodzi, gdy dla trójmianu w tym równaniu

$\Delta <0$

${\left(p+4\right)}^2-4\cdot 1\cdot {\left(p+1\right)}^2<0$

$p^2+8p+16-4\left(p^2+2p+1\right)<0$

$p^2+8p+16-4p^2-8p-4<0$

$-3p^2+12<0$

Mamy

$-3\left(p^2-4\right)<0$

$-3\left(p-2\right)\left(p+2\right)<0$

Zauważmy, że parabola ma ramiona skierowane w dół. Stąd rozwiązanie tej nierówności to

$\underline{p\in \left(-\infty ,-2\right)\cup \left(2,+\infty \right)}$  

---

2. Gdy rozwiązaniem równania

$x^2+\left(p+4\right)x+{\left(p+1\right)}^2=0$

jest $x=-3$. To zachodzi, gdy

${\left(-3\right)}^2+\left(p+4\right)\cdot \left(-3\right)+{\left(p+1\right)}^2=0$

$9-3p-12+p^2+2p+1=0$

$p^2-p-2=0$

$p^2+p-2p-2=0$

Pogrupujmy wyrazy.

$p\left(p+1\right)-2\left(p+1\right)=0$

$\left(p+1\right)\left(p-2\right)=0$

$p+1=0\text{lub}p-2=0$

$p=-1\text{lub}p=2$

Dla

• $p=-1$ równanie ma postać
  
  $x^2+\left(-1+4\right)x+{\left(-1+1\right)}^2=0$
  
  $x^2+3x=0$
  
  $x\left(x+3\right)=0$
  
  $x=0\text{lub}x+3=0$
  
   $x=0\text{lub}x=-3$
  
  Równanie ma dwa rozwiązania, stąd nie spełnia warunków zadania.
  
  
• $p=2$ równanie ma postać
  
  $x^2+\left(2+4\right)x+{\left(2+1\right)}^2=0$
  
  $x^2+6x+3^2=0$
  
  $x^2+6x+9=0$
  
  Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia, otrzymujemy
  
  ${\left(x+3\right)}^2=0$
  
  $x+3=0$
  
   $x=-3$ 
  
  Równanie ma jedno rozwiązanie $x=-3$.
  
  $\underline{p=2}$  

---

Zatem z 1. i 2. zbiór wartości parametru to

$\underline{\underline{p\in \left(-\infty ,-2\right)\cup ⟨2,+\infty )}}$