1. Aby funkcja miała dwa różne pierwiastki powinno zachodzić

$\Delta >0$

Stąd

${\left(2\left(m+1\right)\right)}^2-4\cdot 1\cdot \left(6m+1\right)>0$

$4\left(m^2+2m+1\right)-24m-4>0$

$4m^2+8m+4-24m-4>0$

$4m^2-16m>0$

$4m\left(m-4\right)>0$

Otrzymujemy założenie

$\underline{m\in (-\infty ,0)\cup (4,+\infty )}$

---

2. Aby pierwiastki były tego samego znaku ich iloczyn powinien być dodatni, stąd powinno zachodzić

$x_1\cdot x_2>0$

Korzystając ze wzorów Viète’a zapiszmy

$\frac{c}{a}>0$

$\frac{6m+1}{1}>0$

$6m+1>0|-1$

$6m>-1|:6$

$m>-\frac{1}{6}$

Zatem

$\underline{m\in \left(-\frac{1}{6},+\infty \right)}$

---

3. Przekształćmy podany w zadaniu warunek dla pierwiastków funkcji.

$\left|x_1-x_2\right|<3$

$\left|\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}-\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}\right|<3$

$\left|\frac{2\sqrt{\Delta }}{2a}\right|<3$

$\left|\frac{\sqrt{\Delta }}{a}\right|<3$

Stąd

$\left|\frac{\sqrt{4m\left(m-4\right)}}{1}\right|<3$

$\left|\sqrt{4m\left(m-4\right)}\right|<3{|}^{(2)}$

${\sqrt{4m\left(m-4\right)}}^2<9$

$4m^2-16m<9|-9$

$4m^2-16m-9<0$

Obliczmy pomocniczo

$\Delta ={\left(-16\right)}^2-4\cdot 4\cdot \left(-9\right)=16\cdot 16+16\cdot 9=16\cdot \left(16+9\right)=16\cdot 25,\sqrt{\Delta }=\sqrt{16\cdot 25}=4\cdot 5=20$

$m=\frac{16-20}{8}=\frac{-4}{8}=-\frac{1}{2}\text{lub}m=\frac{16+20}{8}=\frac{36}{8}=\frac{9}{2}$

Stąd

$\underline{m\in \left(-\frac{1}{2},\frac{9}{2}\right)}$

---

Z 1., 2. i 3. otrzymujemy

$\underline{\underline{m\in \left(-\frac{1}{6},0\right)\cup \left(4,\frac{9}{2}\right)}}$