Przede wszystkim zauważmy pierwsze ważne założenie: 

$m-5\ne 0$

$m\ne 5$

---

Zapiszmy i przekształćmy wszystkie warunki:

1. Aby funkcja kwadratowa przyjmowała wartość największą, jej wykres będący parabolą powinien mieć ramiona skierowane ku dołowi. Stąd

$a<0$

Zatem

$\frac{m^2+m-6}{m-5}<0$

$\frac{m^2-2m+3m-6}{m-5}<0$

$\frac{m\left(m-2\right)+3\left(m-2\right)}{m-5}<0$

$\frac{\left(m-2\right)\left(m+3\right)}{m-5}<0$

Równoważnie rozważymy

$\left(m-2\right)\left(m+3\right)\left(m-5\right)<0$

Naszkicujmy wykres pomocniczy.

Odczytujemy z wykresu rozwiązanie nierówności

$\underline{m\in (-\infty ,-3)\cup (2,5)}$

---

2. Aby funkcja miała dwa różne miejsca zerowe powinno zachodzić

$\Delta >0$

Stąd

${\left(-\left(2m-4\right)\right)}^2-4\cdot \frac{m^2+m-6}{m-5}\cdot \left(m-5\right)>0$

${\left(2m-4\right)}^2-4\cdot \left(m^2+m-6\right)>0$

$4m^2-16m+16-4m^2-4m+24>0$

$-20m+40>0|-40$

$-20m>-40|:(-20)$

$m<2$

Mamy zatem założenie

$\underline{m\in (-\infty ,2)}$

---

3. Jeśli miejsca zerowe mają mieć takie same znaki ich iloczyn jest dodatni. Zachodzi nierówność

$x_1{x}_2>0$

Korzystając ze wzorów Viète’a otrzymujemy nierówność

$\frac{c}{a}>0$

$\frac{m-5}{\frac{m^2+m-6}{m-5}}>0$

$\left(m-5\right)\cdot \frac{m-5}{m^2+m-6}>0$

$\frac{{\left(m-5\right)}^2}{m^2+m-6}>0$

Równoważnie

${\left(m-5\right)}^2\left(m^2+m-6\right)>0$

${\left(m-5\right)}^2\left(m^2-2m+3m-6\right)>0$

${\left(m-5\right)}^2\cdot \left[m\left(m-2\right)+3\left(m-2\right)\right]>0$

${\left(m-5\right)}^2\left(m-2\right)\left(m+3\right)>0$

Naszkicujmy wykres pomocniczy, aby rozwiązać nierówność.

Stąd otrzymujemy

$\underline{m\in (-\infty ,-3)\cup (2,5)\cup (5,+\infty )}$

---

Z powyższych warunków otrzymaliśmy

$m\ne 5$  

1. $m\in \left(-\infty ,-3\right)\cup \left(2,5\right)$  

2. $m\in \left(-\infty ,2\right)$  

3. $m\in \left(-\infty ,-3\right)\cup \left(2,5\right)\cup \left(5,+\infty \right)$  

Wynika stąd, że przedziałem zawierającym odpowiednie parametry jest

$m\in \left(-\infty ,3\right)$

Mamy wybrać całkowite wartości parametru, stąd

$\underline{\underline{m\in \{\dots ,-6,-5,-4\}}}$