Dane jest równanie:

${\sin }^{2}5x=k$

Wiemy, że $k$ jest rozwiązaniem równania:

$4x^3-5x^2-7x+2=0$

Znajdźmy liczbę $k$, zatem rozwiążmy powyższe równanie. Mamy:

$4x^3-5x^2-7x+2=0$

$4x^3+4x^2-9x^2-9x+2x+2=0$

$4x^2\left(x+1\right)-9x\left(x+1\right)+2\left(x+1\right)=0$

$\left(x+1\right)\left(4x^2-9x+2\right)=0$

$x+1=0\vee 4x^2-9x+2=0$

$x=-1\vee 4x^2-9x+2=0$

$\Delta ={\left(-9\right)}^2-4\cdot 4\cdot 2=81-32=49$

$\Delta =7$

$x_1=\frac{9-7}{4\cdot 2}=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$

$x_2=\frac{9+7}{4\cdot 2}=\frac{16}{8}=2$

Zatem:

$x=-1\vee x=\frac{1}{4}\vee x=2$

Wobec tego:

$k=-1\vee k=\frac{1}{4}\vee k=2$

czyli:

${\sin }^{2}5x=-1\vee {\sin }^{2}5x=\frac{1}{4}\vee {\sin }^{2}5x=2$

Zauważmy, że pierwsze z równań jest sprzeczne, ponieważ kwadrat liczby rzeczywistej musi być liczbą dodatnią. Zatem:

${\sin }^{2}5x=\frac{1}{4}\vee {\sin }^{2}5x=2$

$\sin 5x=\frac{1}{2}\vee \sin 5x=-\frac{1}{2}\vee \sin 5x=\sqrt{2}\vee \sin 5x=-\sqrt{2}$

Zauważmy, że $-1⩽\sin 5x⩽1$, zatem ostatnie dwa równania są sprzeczne. Wobec tego:

$\sin 5x=\frac{1}{2}\vee \sin 5x=-\frac{1}{2}$

• Rozwiążmy drugie z równań:

$\sin 5x=\frac{1}{2}$

Zauważmy, że:

$\sin \frac{\pi }{6}=\frac{1}{2}$

$\sin \frac{5\pi }{6}=\frac{1}{2}$

Funkcja $y=\sin x$ jest okresowa o okresie $2\pi$. Zatem podane równanie ma nieskończenie wiele rozwiązań. Są one w postaci:

$5x=\frac{\pi }{6}+2k\pi$ lub $5x=\frac{5\pi }{6}+2k\pi$ dla $k\in \mathbb{Z}$

$x=\frac{\pi }{30}+\frac{2k\pi }{5}$ lub $x=\frac{5\pi }{30}+\frac{2k\pi }{5}$

• Rozwiążmy drugie z równań:

$\sin 5x=-\frac{1}{2}$

Zauważmy, że:

$\sin \left(-\frac{\pi }{6}\right)=-\frac{1}{2}$

$\sin \left(-\frac{5\pi }{6}\right)=-\frac{1}{2}$

Funkcja $y=\sin x$ jest okresowa o okresie $2\pi$. Zatem podane równanie ma nieskończenie wiele rozwiązań. Są one w postaci:

$5x=-\frac{\pi }{6}+2k\pi$ lub $5x=-\frac{5\pi }{6}+2k\pi$ dla $k\in \mathbb{Z}$

$x=-\frac{\pi }{30}+\frac{2k\pi }{5}$ lub $x=-\frac{5\pi }{30}+\frac{2k\pi }{5}$

Zatem dla $k\in \mathbb{Z}$ mamy:

$x=\frac{\pi }{30}+\frac{2k\pi }{5}\vee x=\frac{5\pi }{30}+\frac{2k\pi }{5}\vee x=-\frac{\pi }{30}+\frac{2k\pi }{5}\vee x=-\frac{5\pi }{30}+\frac{2k\pi }{5}$

Wobec tego rozwiązaniem wyjściowego równania jest:

$\underline{\underline{x=\frac{\pi }{30}+\frac{2k\pi }{5}\vee x=\frac{\pi }{6}+\frac{2k\pi }{5}\vee x=-\frac{\pi }{30}+\frac{2k\pi }{5}\vee x=-\frac{\pi }{6}+\frac{2k\pi }{5}\text{dla}k\in \mathbb{Z}}}$