Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej...- Zadanie 33: Matura z matematyki 2023-2024. Poziom podstawowy i rozszerzony. Część I

Rozwiązanie

Niech $n$ będzie liczbą naturalną. Aby pokazać podzielność liczby $n^{5} - n$ przez $30$ , pokażemy jej podzielność przez $2, 3$ oraz $5$ (bo $30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$ oraz liczby $2$ , $3$ , $5$ są względnie pierwsze).

$n^{5} - n = n (n^{4} - 1) = n ((n^{2})^{2} - 1^{2}) = \dots$

Stosując wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów $a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$ , otrzymujemy:

$\dots = n (n^{2} - 1) (n^{2} + 1) = \dots$

Stosując ponownie wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów otrzymujemy:

$\dots = n (n - 1) (n + 1) (n^{2} + 1) = (n - 1) \cdot n \cdot (n + 1) (n^{2} + 1)$

Zauważmy, że wśród trzech kolejnych liczb naturalnych $n - 1, n, n + 1$ jedna z liczb jest podzielna przez $3$ oraz co najmniej jedna z liczb jest podzielna przez $2$ . Zatem powyższa liczba jest podzielna przez $2$ oraz $3$ . Aby pokazać jej podzielność przez $30$ , pozostaje nam pokazać jej podzielność przez $5$ .

Liczba $n$ może dawać przy dzieleniu przez $5$ resztę $0, 1, 2, 3$ lub $4$ .

Jeżeli $n$ przy dzieleniu przez $5$ daje resztę $0$ , to jest postaci

$n = 5 k dla k \in N$

Wtedy rozważaną liczbę możemy zapisać jako:

$(n - 1) \cdot n \cdot (n + 1) (n^{2} + 1) = (5 k - 1) \cdot 5 k \cdot (5 k + 1) ((5 k)^{2} + 1) =$

$= 5 \in Z k (5 k - 1) (5 k + 1) ((5 k)^{2} + 1)$

Zatem dla $n = 5 k$ rozważana liczba jest podzielna przez $5$ .

Jeżeli $n$ przy dzieleniu przez $5$ daje resztę $1$ , to jest postaci

$n = 5 k + 1 dla k \in N$

Wtedy rozważaną liczbę możemy zapisać jako:

$(n - 1) \cdot n \cdot (n + 1) (n^{2} + 1) = (5 k + 1 - 1) \cdot (5 k + 1) \cdot (5 k + 1 + 1) ((5 k + 1)^{2} + 1) =$

$= 5 \in Z k (5 k + 1) (5 k + 2) ((5 k + 1)^{2} + 1)$

Zatem dla $n = 5 k + 1$ rozważana liczba jest podzielna przez $5$ .

Jeżeli $n$ przy dzieleniu przez $5$ daje resztę $2$ , to jest postaci

$n = 5 k + 2 dla k \in N$

Wtedy rozważaną liczbę możemy zapisać jako:

$(n - 1) \cdot n \cdot (n + 1) (n^{2} + 1) = (5 k + 2 - 1) \cdot (5 k + 2) \cdot (5 k + 2 + 1) ((5 k + 2)^{2} + 1) = \dots$

Stosując wzór skróconego mnożenia na kwadrat sumy $(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}$ , otrzymujemy:

$= (5 k + 1) (5 k + 2) (5 k + 3) ((5 k)^{2} + 2 \cdot 5 k \cdot 2 + 2^{2} + 1) =$

$= (5 k + 1) (5 k + 2) (5 k + 3) (25 k^{2} + 20 k + 4 + 1) =$

$= (5 k + 1) (5 k + 2) (5 k + 3) (25 k^{2} + 20 k + 5) =$

$= (5 k + 1) (5 k + 2) (5 k + 3) \cdot 5 (5 k^{2} + 4 k + 1) =$

$= 5 \in Z (5 k + 1) (5 k + 2) (5 k + 3) (5 k^{2} + 4 k + 1)$

Zatem dla $n = 5 k + 2$ rozważana liczba jest podzielna przez $5$ .

Jeżeli $n$ przy dzieleniu przez $5$ daje resztę $3$ , to jest postaci

$n = 5 k + 3 dla k \in N$

Wtedy rozważaną liczbę możemy zapisać jako:

$(n - 1) \cdot n \cdot (n + 1) (n^{2} + 1) = (5 k + 3 - 1) \cdot (5 k + 3) \cdot (5 k + 3 + 1) ((5 k + 3)^{2} + 1) = \dots$

Stosując wzór skróconego mnożenia na kwadrat sumy $(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}$ , otrzymujemy:

$= (5 k + 2) (5 k + 3) (5 k + 4) ((5 k)^{2} + 2 \cdot 5 k \cdot 3 + 3^{2} + 1) =$

$= (5 k + 2) (5 k + 3) (5 k + 4) (25 k^{2} + 30 k + 9 + 1) =$

$= (5 k + 2) (5 k + 3) (5 k + 4) (25 k^{2} + 30 k + 10) =$

$= (5 k + 2) (5 k + 3) (5 k + 4) \cdot 5 (5 k^{2} + 6 k + 2) =$

$= 5 \in Z (5 k + 2) (5 k + 3) (5 k + 4) (5 k^{2} + 6 k + 1)$

Zatem dla $n = 5 k + 3$ rozważana liczba jest podzielna przez $5$ .

Jeżeli $n$ przy dzieleniu przez $5$ daje resztę $4$ , to jest postaci

$n = 5 k + 4 dla k \in N$

Wtedy rozważaną liczbę możemy zapisać jako:

$(n - 1) \cdot n \cdot (n + 1) (n^{2} + 1) = (5 k + 4 - 1) \cdot (5 k + 4) \cdot (5 k + 4 + 1) ((5 k + 4)^{2} + 1) =$

$= (5 k + 3) (5 k + 4) (5 k + 5) ((5 k + 4)^{2} + 1) =$

$= (5 k + 3) (5 k + 4) \cdot 5 (k + 1) ((5 k + 4)^{2} + 1) =$

$= 5 \in Z (5 k + 3) (5 k + 4) (k + 1) ((5 k + 4)^{2} + 1)$

Zatem dla $n = 5 k + 4$ rozważana liczba jest podzielna przez $5$ .

Zatem w każdym przypadku rozważana liczba jest podzielna przez $5$ .

Z tego, oraz z podzielności przez $2$ i $3$ , wynika, że rozważana liczba jest podzielna przez $30$ , co należało wykazać.

Katarzyna Nowocień

Nauczycielka matematyki

Zobacz lekcje, które wyjaśnią temat krok po kroku:

Liczby naturalne i całkowite

Premium

17:09

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Reguła mnożenia (2)

Premium

10:26

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Zastosowania wzorów skróconego mnożenia stopnia 2

Premium

13:07

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Tutaj pojawi się lista Twoich książek

Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.