Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej...- Zadanie 2.48: Matura z matematyki 2023-2024. Poziom podstawowy i rozszerzony. Część I

Rozwiązanie

Niech $n$ będzie dowolną liczbą całkowitą. Wtedy:

$n^{3} + 5 n = n (n^{2} + 5)$

Zauważmy, że liczba całkowita $n$ może dawać przy dzieleniu przez $3$ resztę $0, 1$ lub $2$ . Rozważmy $3$ przypadki dla $k \in Z$ .

Jeśli $n = 3 k$ , to:

$n (n^{2} + 5) = 3 k ((3 k)^{2} + 5) = 3 \in Z k (27 k^{2} + 5)$

Jeśli $n = 3 k + 1$ , to:

$n (n^{2} + 5) = (3 k + 1) ((3 k + 1)^{2} + 5) = (3 k + 1) ((3 k)^{2} + 2 \cdot 3 k \cdot 1 + 1^{2} + 5) =$

$= (3 k + 1) (9 k^{2} + 6 k + 6) = (3 k + 1) \cdot 3 (3 k^{2} + 2 k + 2) = 3 \in Z (3 k + 1) (3 k^{2} + 2 k + 2)$

Jeśli $n = 3 k + 2$ , to:

$n (n^{2} + 5) = (3 k + 2) ((3 k + 2)^{2} + 5) = (3 k + 2) ((3 k)^{2} + 2 \cdot 3 k \cdot 2 + 2^{2} + 5) =$

$= (3 k + 1) (9 k^{2} + 12 k + 9) = (3 k + 1) \cdot 3 (3 k^{2} + 4 k + 3) = 3 \in Z (3 k + 1) (3 k^{2} + 4 k + 3)$

Zauważmy, że w każdym przypadku otrzymaliśmy liczbę podzielną przez $3$ , ponieważ każdą z nich można zapisać jako iloczyn liczby $3$ oraz pewnej liczby całkowitej, zatem liczba $n^{3} + 5 n$ jest podzielna przez $3$ co było do wykazania.