Wartość bezwzględna Dla każdej liczby rzeczywistej $x$ wartością bezwzględną z tej liczby nazywamy wyrażenie $\left|x\right|$, gdzie $|x|=\{\begin{array}{l}x\text{dla}x⩾0\\ -x\text{dla}x<0\end{array}$

---

a)

 Z założenia wiemy, że $x\in \left(1;3\right)$, czyli $x$ jest liczbą dodatnią. Zatem powołując się na definicję wartości bezwzględnej, otrzymujemy:

$\left|x\right|=x$

---

---

b)

Wiemy, że $x\in \left(1;3\right)$, zatem

$1<x<3$

$1-8<x-8<3-8$

$-7<x-8<-5$

Wobec tego $x-8$ jest liczbą ujemną. Zatem powołując się na definicję wartości bezwzględnej otrzymujemy:

$\left|x-8\right|=-\left(x-8\right)=-x+8=8-x$

---

---

c)

$\left|3-x\right|+\left|x-1\right|-2\left|x-4\right|$

Wiemy, że $x\in \left(1;3\right)$, zatem

$1<x<3$

---

Rozważmy znaki wyrażeń pod wartościami bezwzględnymi.

1. Określmy znak wyrażenia $3-x$ dla $x\in \left(1;3\right)$.
   $1<x<3|\cdot (-1)$
   $-1>-x>-3|+3$
   $2>3-x>0$
   Zatem
   $\underline{3-x>0}$

   ---

2. Określmy znak wyrażenia $x-1$ dla $x\in \left(1;3\right)$.
   $1<x<3|-1$
   $0<x-1<2$
   Zatem
   $\underline{x-1>0}$

   ---

3. Określmy znak wyrażenia $x-4$ dla $x\in \left(1;3\right)$.
   $1<x<3|-4$
   $-3<x-4<-1$
   Zatem
   $\underline{x-4<0}$

   ---

Korzystając z 1., 2. i 3. oraz z definicji wartości bezwzględnej, możemy zapisać:

$\left|3-x\right|+\left|x-1\right|-2\left|x-4\right|=\left(3-x\right)+\left(x-1\right)-2\cdot \left(-\left(x-4\right)\right)=$

$=3-x+x-1-2\left(-x+4\right)=2+2x-8=2x-6$

Zatem

$\left|3-x\right|+\left|x-1\right|-2\left|x-4\right|=2x-6$

---

---

d)

$\left|x^2-4x+3\right|-\left|x^2-9\right|$

Wiemy, że $x\in \left(1;3\right)$, zatem

$1<x<3$

---

Rozważmy znak wyrażeń pod wartościami bezwzględnymi.

1. Określmy znak wyrażenia $x^2-4x+3$ dla $x\in \left(1;3\right)$.
   Rozłóżmy na czynniki trójmian $x^2-4x+3$.
   

   $\sqrt{\Delta }=2$

   $x_1=\frac{4-2}{2\cdot 1}=\frac{2}{2}=1$

   $x_2=\frac{4+2}{2\cdot 1}=\frac{6}{2}=3$

   Zatem

   $x^2-4x+3=\left(x-1\right)\left(x-3\right)$

   Narysujmy przybliżony wykres funkcji $f\left(x\right)=\left(x-1\right)\left(x-3\right)$.

   

   Z rysunku odczytujemy, że dla $x\in \left(1;3\right)$ funkcja $f$ przyjmuje wartości ujemne, zatem dla $x\in \left(1;3\right)$ mamy:
   $\underline{x^2-4x+3<0}$

   ---

2. Określmy znak wyrażenia $x^2-9$ dla $x\in \left(1;3\right)$.
   Narysujmy następnie przybliżony wykres funkcji. Stosując wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów $a^2-b^2=\left(a-b\right)\left(a+b\right)$, otrzymujemy $g\left(x\right)=\left(x-3\right)\left(x+3\right)$.

   

   Z rysunku odczytujemy, że dla $x\in \left(-3;3\right)$ funkcja $g$ przyjmuje wartości ujemne, zatem dla $x\in \left(1;3\right)$ mamy:
   $\underline{x^2-9<0}$

   ---

    

Korzystając z 1. i 2. oraz powołując się na definicję wartości bezwzględnej, możemy zapisać:

$\left|x^2-4x+3\right|-\left|x^2-9\right|=-\left(x^2-4x+3\right)-\left(-\left(x^2-9\right)\right)=-x^2+4x-3-\left(9-x^2\right)=$

$=-x^2+4x-3-9+x^2=4x-12$

Zatem

$\left|x^2-4x+3\right|-\left|x^2-9\right|=4x-12$

---

---

e)

$\sqrt{x^2-10x+25}=\sqrt{x^2-2\cdot x\cdot 5+5^2}=\cdots$

Stosując wzór skróconego mnożenia na kwadrat sumy $a^2+2ab+b^2={\left(a+b\right)}^2$, otrzymujemy

$\cdots =\sqrt{(x-5{)}^2}=\cdots$

Korzystając z własności $\sqrt{a^2}=\left|a\right|$, otrzymujemy:

$\cdots =\left|x-5\right|=\cdots$

---

Rozważmy znak wyrażenia pod wartością bezwzględną. Wiemy, że $x\in \left(1;3\right)$, zatem:

$1<x<3|-5$

$-4<x-5<-2$

Zatem $x-5$ jest liczbą ujemną.

---

Powołując się na definicję wartości bezwzględnej, otrzymujemy:

$\cdots =-\left(x-5\right)=-x+5=5-x$

Zatem

$\sqrt{x^2-10x+25}=5-x$