a)

$\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\underline{\underline{\frac{\sqrt{2}}{2}}}$

---

b)

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\underline{\underline{\frac{\sqrt{6}}{3}}}$

---

c)

Aby dodać ułamki, sprowadzimy je do wspólnego mianownika.

$\frac{2}{\sqrt{7}+1}+\frac{2}{\sqrt{7}-1}=\frac{2(\sqrt{7}-1)}{(\sqrt{7}-1)(\sqrt{7}+1)}+\frac{2(\sqrt{7}+1)}{(\sqrt{7}-1)(\sqrt{7}+1)}=$

$=\frac{2(\sqrt{7}+1)+2(\sqrt{7}-1)}{(\sqrt{7}-1)(\sqrt{7}+1)}=\cdots$

Stosując w mianowniku ułamka wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów $\left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^2-b^2$, otrzymujemy

$\cdots =\frac{2(\sqrt{7}+1)+2(\sqrt{7}-1)}{(\sqrt{7}{)}^2-1^2}=\frac{2\sqrt{7}+2+2\sqrt{7}-2}{7-1}=\frac{4\sqrt{7}}{6}=\underline{\underline{\frac{2\sqrt{7}}{3}}}$

---

d)

$\frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}\cdot \frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}=\cdots$

Stosując wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów $\left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^2-b^2$, otrzymujemy

$\cdots =\frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{(\sqrt{5}{)}^2-(\sqrt{2}{)}^2}=\frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{5-2}=\underline{\underline{\frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{3}}}$

---

e)

$\frac{4}{\sqrt{3}+\sqrt{2}+1}=\frac{4}{\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)+1}=\cdots$

Rozszerzamy podany ułamek tak, aby w mianowniku móc zastosować wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów $\left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^2-b^2$, otrzymujemy:

$\cdots =\frac{4}{\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)+1}\cdot \frac{\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)-1}{\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)-1}=\frac{4\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}-1\right)}{{\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)}^2-1^2}=\frac{4\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}-1\right)}{{\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)}^2-1^2}=$

$=\frac{4\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}-1\right)}{{\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)}^2-1}=\cdots$

Następnie stosując wzór skróconego mnożenia na kwadrat sumy ${\left(a+b\right)}^2=a^2+2ab+b^2$, otrzymujemy

$\cdots =\frac{4\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}-1\right)}{{\left(\sqrt{3}\right)}^2+2\cdot \left(\sqrt{3}\right)\cdot \left(\sqrt{2}\right)+{\left(\sqrt{2}\right)}^2-1}=\frac{4\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}-1\right)}{3+2\sqrt{6}+2-1}=\frac{4\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}-1\right)}{4+2\sqrt{6}}=$

$=\frac{4\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}-1\right)}{4+2\sqrt{6}}\cdot \frac{4-2\sqrt{6}}{4-2\sqrt{6}}=\cdots$

Ponownie stosujemy wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów, otrzymujemy

$\cdots =\frac{4\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}-1\right)\left(4-2\sqrt{6}\right)}{4^2-(2\sqrt{6}{)}^2}=\frac{4\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}-1\right)\left(4-2\sqrt{6}\right)}{16-4\cdot 6}=$

$=\frac{4\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}-1\right)\left(4-2\sqrt{6}\right)}{16-24}=\frac{{}^1\cancel{4}\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}-1\right)\left(4-2\sqrt{6}\right)}{{\cancel{-8}}_{-2}}=$

$=\frac{\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}-1\right)\left(4-2\sqrt{6}\right)}{-2}=\frac{\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}-1\right)\cdot (\cancel{-2})\cdot \left(\sqrt{6}-2\right)}{\cancel{-2}}=$

$=\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}-1\right)\left(\sqrt{6}-2\right)=\sqrt{18}-2\sqrt{3}+\sqrt{12}-2\sqrt{2}-\sqrt{6}+2=$

$=\sqrt{9\cdot 2}-2\sqrt{3}+\sqrt{4\cdot 3}-2\sqrt{2}-\sqrt{6}+2=3\sqrt{2}-2\sqrt{3}+2\sqrt{3}-2\sqrt{2}-\sqrt{6}+2=$

$=\underline{\underline{\sqrt{2}-\sqrt{6}+2}}$