WZÓR NA POLE TRÓJKĄTA Pole trójkąta o bokach długości $a$ i $b$ oraz o kącie między tymi bokami miary $\alpha$ wyraża się wzorem: $P=\frac{1}{2}ab\sin \alpha$ TWIERDZENIE COSINUSÓW Dany jest trójkąt o bokach długości $a,b$ oraz $c.$ Niech kąt $\alpha$ będzie kątem tego trójkąta leżącym naprzeciwko boku o długości $a.$ Dla tego trójkąta zachodzi związek: $a^2=b^2+c^2-2bc\cos \alpha$

---

Rysunek:

---

1.

Wyznaczmy długość boku $x$ tego trójkąta. Korzystając z twierdzenia cosinusów mamy:

$x^2=8^2+{\left(4\sqrt{3}\right)}^2-2\cdot 8\cdot 4\sqrt{3}\cdot \cos 150^{\circ }$

$x^2=64+48-64\sqrt{3}\cdot \cos \left(90^{\circ }+60^{\circ }\right)$

Korzystając ze wzoru redukcyjnego $\cos \left(90^{\circ }+\alpha \right)=-\sin \alpha$ mamy:

$x^2=112-64\sqrt{3}\cdot \left(-\sin 60^{\circ }\right)$

$x^2=112+64\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

$x^2=112+96$

$x^2=208\wedge x>0$

$x=4\sqrt{13}$

Zatem pierwsze zdanie jest zdaniem fałszywym. 

---

2.

Wyznaczmy pole tego trójkąta. Mamy:

$P=\frac{1}{2}\cdot 8\cdot 4\sqrt{3}\cdot \sin 150^{\circ }$

$P=16\sqrt{3}\cdot \sin \left(90^{\circ }+60^{\circ }\right)$

Korzystając ze wzoru redukcyjnego $\sin \left(90^{\circ }+\alpha \right)=\cos \alpha$ mamy:

$P=16\sqrt{3}\cdot \cos 60^{\circ }$

$P=16\sqrt{3}\cdot \frac{1}{2}$

$P=8\sqrt{3}$

Zatem drugie zdanie jest zdaniem prawdziwym.

---

Odp. F, P