WZÓR NA POLE TRÓJKĄTA Pole trójkąta o bokach długości $a$ i $b$ oraz o kącie między tymi bokami miary $\alpha$ wyraża się wzorem: $P=\frac{1}{2}ab\sin \alpha$ TWIERDZENIE COSINUSÓW Dany jest trójkąt o bokach długości $a,b$ oraz $c.$ Niech kąt $\alpha$ będzie kątem tego trójkąta leżącym naprzeciwko boku o długości $a.$ Dla tego trójkąta zachodzi związek: $a^2=b^2+c^2-2bc\cos \alpha$

---

1.
Dany jest trójkąt ostrokątny o bokach długości $2$ oraz $1.$ Sinus kąta między tymi bokami wynosi $\frac{\sqrt{15}}{4}.$

Wyznaczmy pole tego trójkąta. Mamy:

$P=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 1\cdot \frac{\sqrt{15}}{4}=\frac{\sqrt{15}}{4}$ 

Pole tego trójkąta wynosi $\frac{\sqrt{15}}{4}.$

---

2.

Wyznaczmy cosinus kąta $\alpha .$ Korzystając z jedynki trygonometrycznej ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$ mamy:

${\left(\frac{\sqrt{15}}{4}\right)}^2+{\cos }^2\alpha =1$

$\frac{15}{16}+{\cos }^2\alpha =1$

${\cos }^2\alpha =\frac{1}{16}\wedge \cos \alpha >0$

$\cos \alpha =\frac{1}{4}$

Wyznaczmy długość trzeciego boku $x$ tego trójkąta. Korzystając z twierdzenia cosinusów mamy:

$x^2=1^2+2^2-2\cdot 1\cdot 2\cdot \frac{1}{4}$

$x^2=1+4-1$

$x^2=4\wedge x>0$

$x=2$

Wyznaczmy obwód tego trójkąta. Mamy:

$Ob=2+1+2=5$

---

Odp. 1. D; 2. H