Dany jest ciąg $\left(a_n\right)$ określony wzorem

$a_n=-2\left(n-3\right)\left(n+5\right),n\in {\mathbb{N}}_{+}$

---

Wyznaczmy, które wyrazy tego ciągu są liczbami dodatnimi. Otrzymujemy stąd nierówność:

$-2\left(n-3\right)\left(n+5\right)>0$

Liczby $3$ oraz $-5$ są miejscami zerowymi funkcji kwadratowej po lewej stronie nierówności. Ramiona tej paraboli skierowane są do dołu.

Naszkicujmy przybliżony wykres tej funkcji. Mamy: 

Odczytujemy z wykresu zbiór rozwiązań tej nierówności i mamy:

$n\in \left(-5,3\right)$

Uwzględniając to, że $n\in {\mathbb{N}}_{+}$ mamy:

$\underline{n\in \left\{1,2\right\}}$

Wyrazy $a_1$ oraz $a_2$ są jedynymi dodatnimi wyrazami tego ciągu. Wyznaczmy te wyrazy. Mamy:

• $a_1=-2\cdot \left(1-3\right)\cdot \left(1+5\right)=-2\cdot \left(-2\right)\cdot 6=24$
• $a_2=-2\cdot \left(2-3\right)\cdot \left(2+5\right)=-2\cdot \left(-1\right)\cdot 7=14$

Wyznaczmy sumę tych dodatnich wyrazów. Mamy:

$a_1+a_2=24+14=38$

Suma wszystkich dodatnich wyrazów tego ciągu wynosi $38.$

---

Odp. D