a)

Rozważamy ciąg (a_n) dany wzorem

$a_n=n^2-8n+15$  

---

Określamy, które wyrazy ciągu są ujemne. Innymi słowy, mamy wyznaczyć wszystkie liczby naturalne dodatnie n, dla których spełniona jest nierówność:

$\underset{a_n}{\underbrace{n^2-8n+15}}<0$

Rozwiązujemy nierówność kwadratową. Wyznaczamy pierwiastki trójmianu będącego po lewej stronie nierówności. 

$n^2-8n+15=0$   

$\Delta ={\left(-8\right)}^2-4\cdot 1\cdot 15=64-60=4,\sqrt{\Delta }=2$  

$n_1=\frac{8-2}{2}=3$  

$n_2=\frac{8+2}{2}=5$  

Szkicujemy parabolę i zaznaczamy liczby naturalne dodatnie n, które spełniają daną nierówność. 

Rysunek:

Rozwiązaniem nierówności jest zbiór:

$n\in \left(3;5\right)$   

Zauważmy, że jedyną liczbą naturalną, która należy do tego przedziału, jest n=4. To oznacza, że jedynym ujemnym wyrazem ciągu (a_n) jest a_4.

---

Określamy teraz,  które wyrazy ciągu są większe od 3. Innymi słowy, mamy wyznaczyć wszystkie liczby naturalne dodatnie n, dla których spełniona jest nierówność:

$\underset{a_n}{\underbrace{n^2-8n+15}}>3$

$n^2-8n+12>0$  

Rozwiązujemy nierówność kwadratową. Wyznaczamy pierwiastki trójmianu będącego po lewej stronie nierówności. 

$n^2-8n+12=0$   

$\Delta ={\left(-8\right)}^2-4\cdot 1\cdot 12=64-48=16,\sqrt{\Delta }=4$  

$n_1=\frac{8-4}{2}=2$  

$n_2=\frac{8+4}{2}=6$  

Szkicujemy parabolę i zaznaczamy liczby naturalne dodatnie n, które spełniają daną nierówność. 

Rysunek:

Odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności:

$n\in \left(-\infty ;2\right)\cup \left(6;\infty \right)$   

Z powyższego zbioru wybieramy wyłącznie liczby naturalne dodatnie i otrzymujemy ostatecznie, że

$a_3>3\text{dla}\underline{\underline{n=1\text{lub}n\ge 7}}$  

---

---

b)

Rozważamy ciąg (a_n) dany wzorem

$a_n=n^3-5n^2-5n+25$  

---

Określamy, które wyrazy ciągu są ujemne. Innymi słowy, mamy wyznaczyć wszystkie liczby naturalne dodatnie n, dla których spełniona jest nierówność:

$\underset{a_n}{\underbrace{n^3-5n^2-5n+25}}<0$

Rozwiązujemy nierówność wielomianową. Rozkładamy wielomian będący po lewej stronie nierówności na czynniki i wyznaczamy jego pierwiastki. Korzystamy z metody grupowania wyrazów:

$n^3-5n^2-5n+25=n^2\left(n-5\right)-5\left(n-5\right)=\left(n-5\right)\left(n^2-5\right)=\dots$  

Stosujemy wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów i otrzymujemy ostatecznie:

$\dots =\left(n-5\right)\left(n-\sqrt{5}\right)\left(n+\sqrt{5}\right)$  

Zatem dana nierówność sprowadza się do

$\left(n-5\right)\left(n-\sqrt{5}\right)\left(n+\sqrt{5}\right)<0$  

Z powyższej postaci odczytujemy, że pierwiastkami wielomianu są

$n_1=5,n_2=\sqrt{5},n_3=-\sqrt{5}$  

Zaznaczamy pierwiastki na osi liczbowej i szkicujemy przybliżony wykres wielomianu.

Rysunek:

Odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności:

$n\in \left(-\infty ;-\sqrt{5}\right)\cup \left(\sqrt{5};5\right)$  

Z powyższego zbioru wybieramy wyłącznie liczby naturalne dodatnie i mamy:

$n=3\vee n=4$  

To oznacza, że ujemnymi wyrazami ciągu (a_n) są a₃ i a₄.

---

Określamy, które wyrazy ciągu są większe od 3. Innymi słowy, mamy wyznaczyć wszystkie liczby naturalne dodatnie n, dla których spełniona jest nierówność:

$\underset{a_n}{\underbrace{n^3-5n^2-5n+25}}>3$

$\underset{w\left(n\right)}{\underbrace{n^3-5n^2-5n+22}}>0$  

Rozwiązujemy nierówność wielomianową. Oznaczmy wielomian będący po lewej stronie nierówności przez w. Rozkładamy wielomian w  na czynniki i wyznaczamy jego pierwiastki. Sprawdzamy najpierw, czy wielomian w ma pierwiastek całkowity. Jeżeli istnieje pierwiastek całkowity wielomianu w, to jest on dzielnikiem wyrazu wolnego, czyli liczby 22. 

Sprawdzamy, czy np. n = 2 jest pierwiastkiem wielomianu.  

$w\left(2\right)=2^3-5\cdot 2^2-5\cdot 2+22=8-20-10+22=30-30=0$   

Zatem n = 2 jest pierwiastkiem wielomianu. Z twierdzenia Bézouta mamy, że wielomian w jest podzielny przez dwumian (n-2).

Dzielimy wielomian w przez dwumian (n-2), stosując np. schemat Hornera.

	$1$	$-5$	$-5$	$22$
$2$		$2$	$-6$	$-22$
	$1$	$-3$	$-11$	$0$

Zatem

$w\left(n\right):\left(n-2\right)=n^2-3n-11$  

Stąd

$\underset{w\left(n\right)}{\underbrace{n^3-5n^2-5n+22}}=\left(n-2\right)\left(n^2-3n-11\right)$  

Wyznaczamy pierwiastki trójmianu kwadratowego: n²-3n-11.

$\Delta ={\left(-3\right)}^2-4\cdot 1\cdot \left(-11\right)=9+44=53,\sqrt{\Delta }=\sqrt{53}$

$n_1=\frac{3-\sqrt{53}}{2}\approx -2,14$  

$n_2=\frac{3+\sqrt{53}}{2}\approx 5,14$  

Zaznaczamy pierwiastki wielomianu w na osi liczbowej i szkicujemy przybliżony wykres wielomianu.

Rysunek:

Odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności:

$n\in \left(\frac{3-\sqrt{53}}{2};2\right)\cup \left(\frac{3+\sqrt{53}}{2};\infty \right)$  

Z powyższego zbioru wybieramy wyłącznie liczby naturalne dodatnie i mamy:

$n=1\vee n\ge 6$  

To oznacza, że 

$a_n>3\text{dla}\underline{\underline{n=1\text{lub}n\ge 6}}$  

---

---

c)

Rozważamy ciąg (a_n) dany wzorem

$a_n=\frac{6n-16}{2n-7}$  

Zauważmy, że dany ciąg jest poprawnie określony dla każdej liczby naturalnej, bowiem nie istnieje liczba n ∈ N_+, taka że 

$2n+7=0$   

---

Określamy, które wyrazy ciągu są ujemne. Innymi słowy, mamy wyznaczyć wszystkie liczby naturalne dodatnie n, dla których spełniona jest nierówność:

$\frac{6n-16}{2n-7}<0$  

Korzystamy z faktu, że znak ilorazu dwóch liczb jest taki sam jak znak iloczynu tych liczb. Otrzymujemy, że

$\left(6n-16\right)\left(2n-7\right)<0$  

Otrzymaliśmy nierówność kwadratową. Wyznaczamy pierwiastki trójmianu kwadratowego.

$6n-16=0\vee 2n-7=0$  

$n=\frac{16}{6}\vee n=\frac{7}{2}$  

$n=2\frac{2}{3}\vee n=3\frac{1}{2}$  

Zaznaczamy otrzymane pierwiastki na osi liczbowej i szkicujemy parabolę.

Rysunek:

Odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności:

$n\in \left(2\frac{2}{3};3\frac{1}{2}\right)$  

Z powyższego zbioru wybieramy wyłącznie liczby naturalne dodatnie i mamy:

$n=3$  

To oznacza, że jedynym wyrazem ujemnym ciągu (a_n) jest a_3.

---

Określamy, które wyrazy ciągu są większe od 3. Innymi słowy, mamy wyznaczyć wszystkie liczby naturalne dodatnie n, dla których spełniona jest nierówność:

$\underset{a_n}{\underbrace{\frac{6n-16}{2n-7}}}>3$

$\frac{6n-16}{2n-7}-3>0$  

$\frac{6n-16}{2n-7}-\frac{3\left(2n-7\right)}{2n-7}>0$  

$\frac{6n-16-6n+21}{2n-7}>0$  

$\frac{5}{2n-7}>0$  

Zauważmy, że licznik powyższego ułamka jest zawsze dodatni. To oznacza, że cały ułamek będzie dodatni, gdy mianownik będzie większy od zera. Stąd powyższa nierówność sprowadza się do

$2n-7>0$  

$2n>7\mid :2$  

$n>\frac{7}{2}$  

$n>3\frac{1}{2}$  

Rozwiązaniem nierówności jest zbiór

$n\in \left(3\frac{1}{2};\infty \right)$  

Z powyższego zbioru bierzemy wyłącznie liczby naturalne dodatnie, zatem

$n\ge 4$  

To oznacza, że 

$a_n>3\text{dla}\underline{\underline{n\ge 4}}$