Rozważamy funkcję

$f\left(x\right)=\frac{\sin x-\left|\cos x\right|}{\cos x}$  

Dziedziną funkcji f jest zbiór

$D_f=\left(0;\frac{\pi }{2}\right)\cup \left(\frac{\pi }{2};\pi \right)$  

---

Mamy narysować wykres funkcji f. 

Przekształcamy wzór funkcji f.  Korzystamy ze wzoru na tangens:

$\text{tg}\alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$  

$f\left(x\right)=\frac{\sin x-\left|\cos x\right|}{\cos x}=\frac{\sin x}{\cos x}-\frac{\left|\cos x\right|}{\cos x}=\text{tg}x-\frac{\left|\cos x\right|}{\cos x}$

Zauważmy, że z definicji wartości bezwzględnej mamy:

$\left|\cos x\right|=\{\begin{array}{l}\cos x\text{,}\text{gdy}\cos x\ge 0\\ -\cos x\text{,}\text{gdy}\cos x<0\end{array}$  

Na dziedzinę funkcji f składają się kąty z I i II ćwiartki układu współrzędnych. Przypomnijmy, że funkcja cosx przyjmuje wartości dodatnie dla kątów z I ćwiartki oraz wartości ujemne dla kątów z II ćwiartki układu. Zatem mamy dwa przypadki:

I przypadek:

  $x\in \left(0;\frac{\pi }{2}\right)$  

Wtedy

  $\cos x>0,\text{zatem}\left|\cos x\right|=\cos x$   

Czyli funkcja f ma w tym przypadku wzór

$f\left(x\right)=\text{tg}x-\frac{\cos x}{\cos x}=\text{tg}x-1$  

 II przypadek:

  $x\in \left(\frac{\pi }{2};\pi \right)$  

Wtedy

  $\cos x<0,\text{zatem}\left|\cos x\right|=-\cos x$   

Czyli funkcja f ma w tym przypadku wzór

$f\left(x\right)=\text{tg}x-\frac{-\cos x}{\cos x}=\text{tg}x+1$  

Oznacza to, że wzór funkcji f możemy zapisać bez symbolu wartości bezwzględnej:

$f\left(x\right)=\{\begin{array}{l}\text{tg}x-1\text{dla}x\in \left(0;\frac{\pi }{2}\right)\\ \text{tg}x+1\text{dla}x\in \left(\frac{\pi }{2};\pi \right)\end{array}$  

---

Aby narysować wykres funkcji f, rysujemy wykres funkcji

$y=\text{tg}x\text{dla}x\in \left(0;\frac{\pi }{2}\right)\cup \left(\frac{\pi }{2};\pi \right)$  

A następnie:

• fragment wykresu odpowiadający argumentom z przedziału (0;^𝜋/₂) przesuwamy o 1 jednostkę w dół względem osi Oy;
• fragment wykresu odpowiadający argumentom z przedziału (^𝜋/₂;𝜋) przesuwamy o 1 jednostkę w górę względem osi Oy. 

---

Rysunek:

---

Mamy odczytać z wykresu zbiór rozwiązań nierówności

$f\left(x\right)\ge 0$  

Odczytujemy najpierw miejsca zerowe funkcji f: 

$x=\frac{\pi }{4}\text{oraz}x=\frac{3}{4}\pi$   

Sprawdzamy poprawność odczytu:

$f\left(\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\sin \frac{\pi }{4}-\left|\cos \frac{\pi }{4}\right|}{\cos \frac{\pi }{4}}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=0$  

$f\left(\frac{3}{4}\pi \right)=\frac{\sin \frac{3}{4}\pi -\left|\cos \frac{3}{4}\pi \right|}{\cos \frac{3}{4}\pi }=\frac{\sin \frac{\pi }{4}\pi -\left|-\cos \frac{\pi }{4}\right|}{-\cos \frac{\pi }{4}}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}}{-\frac{\sqrt{2}}{2}}=0$  

Wobec tego odczytane przez nas argumenty są miejscami zerowymi funkcji f. Z wykresu odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności:

$f\left(x\right)\ge 0\text{dla}\underline{\underline{x\in \left[\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{2}\right)\cup \left[\frac{3}{4}\pi ;\pi \right)}}$