Rozwiązujemy równanie

$\sin x+\sin 2x+\sin 3x=0\left(\ast \right)$  

w przedziale [0;𝜋]

---

Przekształcamy lewą stronę równania. Korzystamy ze wzoru na sumę sinusów:

$\sin \alpha +\sin \beta =2\sin \frac{\alpha +\beta }{2}\cdot \cos \frac{\alpha -\beta }{2}$  

$\sin 3x+\sin x+\sin 2x=0$  

$\underset{\sin 3x+\sin x}{\underbrace{2\sin \frac{3x+x}{2}\cdot \cos \frac{3x-x}{2}}}+\sin 2x=0$  

$2\sin 2x\cdot \cos x+\sin 2x=0$  

Wyłączamy wspólny czynnik sin2x przed nawias i otrzymujemy

$\sin 2x\left(2\cos x+1\right)=0$  

Stąd dostajemy dwa równania trygonometryczne:

$\text{1)}\sin 2x=0\vee \text{2)}2\cos x+1=0$  

Rozwiązujemy każde z powyższych równań i bierzemy rozwiązania należące do przedziału [0;𝜋]. 

---

1)

$\sin 2x=0$  

Zatem

$2x=k\pi ,k\in \mathbb{Z}$  

Czyli

$x=\frac{k\pi }{2},k\in \mathbb{Z}$  

Zauważmy, że rozwiązania należące do przedziału [0;𝜋] otrzymamy dla k=0, k=1 oraz dla k=2. Zatem

$x=0\vee x=\frac{\pi }{2}\vee x=\pi$  

---

2)

$2\cos x+1=0$  

$2\cos x=-1$  

Czyli

$\cos x=-\frac{1}{2}$  

Funkcja cosinus przyjmuje wartości ujemne dla kątów z II i III ćwiartki układu współrzędnych. Zauważmy, że kąty z III ćwiartki nie należą do przedziału [0;𝜋]. To oznacza, że jedynym rozwiązaniem należącym do tego przedziału jest rozwiązanie z II ćwiartki, czyli

$x=\pi -\frac{\pi }{3}=\underline{\underline{\frac{2}{3}\pi }}$

---

Rozwiązaniem równania (*) będzie suma zbiorów rozwiązań 1. i 2. równania. Zatem

$\underline{\underline{x\in \left\{0,\frac{\pi }{2},\frac{2}{3}\pi ,\pi \right\}}}$