Rozwiązujemy równanie

$sin x + sin 2 x + sin 3 x = 0 (*)$

w przedziale [0;𝜋]

Przekształcamy lewą stronę równania. Korzystamy ze wzoru na sumę sinusów:

$s i n α + s i n β = 2 s i n \frac{α + β}{2} \cdot c o s \frac{α - β}{2}$

$sin 3 x + sin x + sin 2 x = 0$

$s i n 3 x + s i n x 2 sin \frac{3 x + x}{2} \cdot cos \frac{3 x - x}{2} + sin 2 x = 0$

$2 sin 2 x \cdot cos x + sin 2 x = 0$

Wyłączamy wspólny czynnik sin2x przed nawias i otrzymujemy

$sin 2 x (2 cos x + 1) = 0$

Stąd dostajemy dwa równania trygonometryczne:

$1) sin 2 x = 0 \lor 2) 2 cos x + 1 = 0$

Rozwiązujemy każde z powyższych równań i bierzemy rozwiązania należące do przedziału [0;𝜋].

1)

$sin 2 x = 0$

Zatem

$2 x = k π, k \in Z$

Czyli

$x = \frac{k π}{2}, k \in Z$

Zauważmy, że rozwiązania należące do przedziału [0;𝜋] otrzymamy dla k=0, k=1 oraz dla k=2. Zatem

$x = 0 \lor x = \frac{π}{2} \lor x = π$

2)

$2 cos x + 1 = 0$

$2 cos x = - 1$

Czyli

$cos x = - \frac{1}{2}$

Funkcja cosinus przyjmuje wartości ujemne dla kątów z II i III ćwiartki układu współrzędnych. Zauważmy, że kąty z III ćwiartki nie należą do przedziału [0;𝜋]. To oznacza, że jedynym rozwiązaniem należącym do tego przedziału jest rozwiązanie z II ćwiartki, czyli

$x = π - \frac{π}{3} = \underline{\underline{\frac{2}{3} π}}$

Rozwiązaniem równania (*) będzie suma zbiorów rozwiązań 1. i 2. równania. Zatem

$\underline{\underline{x \in {0, \frac{π}{2}, \frac{2}{3} π, π}}}$