Wykaż, że liczba...- Zadanie 39: Nowa teraz matura. Zbiór zadań maturalnych. Poziom rozszerzony

Rozwiązanie

Prawa działań na logarytmach

Jeżeli a, x, y są liczbami dodatnimi oraz a≠ 1, to:

$1 . lo g_{a} (x \cdot y) = lo g_{a} x + lo g_{a} y$

$2 . lo g_{a} \frac{x}{y} = lo g_{a} x - lo g_{a} y$

$3 . lo g_{a} x^{p} = p \cdot lo g_{a} x, gdzie p \in R$

Mamy pokazać, że liczba

$(2 lo g_{0, 1} 3 - lo g_{0, 1} 27) + (2 lo g_{0, 1} 6 - lo g_{0, 1} 12)$

jest wymierna

Dowód:

Korzystamy z praw działań na logarytmach i doprowadzamy do najprostszej postaci liczby, które znajdują się w dwóch powyższych nawiasach:

$2 lo g_{0, 1} 3 - lo g_{0, 1} 27 = 2 lo g_{0, 1} 3 - lo g_{0, 1} 3^{3} = 3 2 lo g_{0, 1} 3 - 3 lo g_{0, 1} 3 = - lo g_{0, 1} 3$
$2 lo g_{0, 1} 6 - lo g_{0, 1} 12 = 3 lo g_{0, 1} 6^{2} - lo g_{0, 1} 12 = lo g_{0, 1} 36 - lo g_{0, 1} 12 = 2 lo g_{0, 1} \frac{36}{12} = lo g_{0, 1} 3$