a)

Teza:

$P\left(A\cap B\right)\le 1-P\left(A^{\prime }\right)$

Dowód:

Korzystamy ze wzoru na prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego:

$P\left(A\right)=1-P\left(A^{\prime }\right)$

i przekształcamy lewą stronę nierówności

$P\left(A\cap B\right)\le P\left(A\right)$

Zauważmy, że zdarzenie A∩B zawiera się w zdarzeniu B, tzn.

$A\cap B\subseteq A$

To oznacza, że

$P\left(A\cap B\right)\le P\left(A\right)$

co należało wykazać.

---

Teza:

$P\left(A\right)+P\left(A^{\prime }\cap B\right)=P\left(B\right)+P\left(B^{\prime }\cap A\right)$

Dowód:

Sporządzamy rysunek pomocniczy.

Rysunek:

Zauważmy, że  A'∩B to zbiór zdarzeń elementarnych, które nie spełniają zdarzenia A i jednocześnie spełniają zdarzenie B. Na rysunku to zdarzenie jest zaznaczone kolorem niebieskim. Mamy

$A^{\prime }\cap B=B\setminus A$

Zdarzenia  A i B\A są rozłączne. Lewa strona dowodzonej równości jest równa

$P\left(A\right)+P\left(A^{\prime }\cap B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\setminus A\right)=P\left(A\cup B\right)$

Zauważmy, że  B'∩A to zbiór zdarzeń elementarnych, które nie spełniają zdarzenia B i jednocześnie spełniają zdarzenie A. Na rysunku to zdarzenie jest zaznaczone kolorem żółtym. Mamy

$B^{\prime }\cap A=A\setminus B$

Zdarzenia  B i A\B są rozłączne. Prawa  strona dowodzonej równości jest równa

$P\left(B\right)+P\left(B^{\prime }\cap A\right)=P\left(B\right)+P\left(A\setminus B\right)=P\left(A\cup B\right)$

Pokazaliśmy, że obie strony równości są równe P(A∪B). To oznacza, że

$P\left(A\right)+P\left(A^{\prime }\cap B\right)=P\left(B\right)+P\left(B^{\prime }\cap A\right)$

co należało wykazać.