a)

Obliczamy granicę

$\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x^3-4}{2x-7}=\dots$  

Wstawiamy w miejsce x w ułamku x=2 i otrzymujemy:

$\dots =\frac{2^3-4}{2\cdot 2-7}=\frac{8-4}{4-7}=\frac{4}{-3}=\underline{\underline{-\frac{4}{3}}}$  

---

b)

Obliczamy granicę

$\underset{x\to 3}{\lim }\frac{9-x^2}{x^2-3x}=\dots$  

Wstawiamy w miejsce x w ułamku x=3 i otrzymujemy:

$\dots =\left[\frac{9-3^2}{3^2-3\cdot 3}\right]=\left[\frac{0}{0}\right]$  

Otrzymaliśmy symbol nieoznaczony. Rozkładamy zatem licznik i mianownik ułamka na czynniki. W liczniku korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów, a w mianowniku wyłączamy wspólny czynnik przed nawias.

$\underset{x\to 3}{\lim }\frac{9-x^2}{x^2-3x}=\underset{x\to 3}{\lim }\frac{\left(3-x\right)\left(3+x\right)}{-x\left(-x+3\right)}=\underset{x\to 3}{\lim }\frac{\cancel{\left(3-x\right)}\left(3+x\right)}{-x\cancel{\left(3-x\right)}}=\underset{x\to 3}{\lim }\frac{3+x}{-x}=\frac{3+3}{-3}=\underline{\underline{-2}}$  

---

c)

Obliczamy granicę

$\underset{x\to 2}{\lim }\frac{8-x^3}{12-3x^2}=\dots$  

Wstawiamy w miejsce x w ułamku x=2 i otrzymujemy:

$\dots =\left[\frac{8-2^3}{12-3\cdot 2^2}\right]=\left[\frac{8-8}{12-12}\right]=\left[\frac{0}{0}\right]$  

Otrzymaliśmy symbol nieoznaczony. Rozkładamy zatem licznik i mianownik ułamka na czynniki. W liczniku korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę sześcianów: a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²), a w mianowniku wyłączamy wspólny czynnik przed nawias i następnie korzystamy ze wzoru na różnicę kwadratów.

$\underset{x\to 2}{\lim }\frac{8-x^3}{12-3x^2}=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{\left(2-x\right)\left(2^2+2x+x^2\right)}{3\left(4-x^2\right)}=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{\cancel{\left(2-x\right)}\left(4+2x+x^2\right)}{3\cancel{\left(2-x\right)}\left(2+x\right)}=$  

$=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{4+2x+x^2}{3\left(2+x\right)}=\frac{4+2\cdot 2+2^2}{3\cdot \left(2+2\right)}=\frac{12}{12}=\underline{\underline{1}}$  

---

d)

Obliczamy granicę

$\underset{x\to -2}{\lim }\frac{x^2-2x-8}{x^2-x-6}=\dots$  

Wstawiamy w miejsce x w ułamku x=-2 i otrzymujemy:

$\dots =\left[\frac{{\left(-2\right)}^2-2\cdot \left(-2\right)-8}{{\left(-2\right)}^2-\left(-2\right)-6}\right]=\left[\frac{4+4-8}{4+2-6}\right]=\left[\frac{0}{0}\right]$  

Otrzymaliśmy symbol nieoznaczony. Rozkładamy zatem licznik i mianownik ułamka na czynniki.

Licznik:

$y=x^2-2x-8$

$\Delta ={\left(-2\right)}^2-4\cdot 1\cdot \left(-8\right)=4+32=36,\sqrt{\Delta }=6$  

$x_1=\frac{2-6}{2}=\frac{-4}{2}=-2$  

$x_2=\frac{2+6}{2}=\frac{8}{2}=4$  

Zapisujemy trójmian kwadratowy w postaci iloczynowej.

$x^2-2x-8=\left(x+2\right)\left(x-4\right)$  

Mianownik:

$y=x^2-x-6$

$\Delta ={\left(-1\right)}^2-4\cdot 1\cdot \left(-6\right)=1+24=25,\sqrt{\Delta }=5$  

$x_1=\frac{1-5}{2}=\frac{-4}{2}=-2$  

$x_2=\frac{1+5}{2}=\frac{6}{2}=3$  

Zapisujemy trójmian kwadratowy w postaci iloczynowej.

$x^2-x-6=\left(x+2\right)\left(x-3\right)$  

Zatem szukana granica sprowadza się do postaci.

$\underset{x\to -2}{\lim }\frac{x^2-2x-8}{x^2-x-6}=\underset{x\to -2}{\lim }\frac{\cancel{\left(x+2\right)}\left(x-4\right)}{\cancel{\left(x+2\right)}\left(x-3\right)}=\underset{x\to -2}{\lim }\frac{x-4}{x-3}=\frac{-2-4}{-2-3}=\frac{-6}{-5}=\underline{\underline{\frac{6}{5}}}$  

---

e)

Obliczamy granicę

$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^3-1}{4x^2-7x+3}=\dots$  

Wstawiamy w miejsce x w ułamku x=1 i otrzymujemy:

$\dots =\left[\frac{1^3-1}{4\cdot 1^2-7\cdot 1+3}\right]=\left[\frac{0}{0}\right]$  

Otrzymaliśmy symbol nieoznaczony. Rozkładamy zatem licznik i mianownik ułamka na czynniki.

Licznik:

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę sześcianów: a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²).

$x^3-1=\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)$

Mianownik:

$y=4x^2-7x+3$

$\Delta ={\left(-7\right)}^2-4\cdot 4\cdot 3=49-48=1,\sqrt{\Delta }=1$  

$x_1=\frac{7-1}{2\cdot 4}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$  

$x_2=\frac{7+1}{8}=1$  

Zapisujemy trójmian kwadratowy w postaci iloczynowej.

$4x^2-7x+3=4\left(x-\frac{3}{4}\right)\left(x-1\right)=\left(4x-3\right)\left(x-1\right)$  

Zatem szukana granica sprowadza się do postaci.

$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^3-1}{4x^2-7x+3}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\cancel{\left(x-1\right)}\left(x^2+x+1\right)}{\left(4x-3\right)\cancel{\left(x-1\right)}}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^2+x+1}{4x-3}=\frac{1^2+1+1}{4\cdot 1-3}=\underline{\underline{3}}$  

---

f)

Obliczamy granicę

$\underset{x\to \frac{1}{3}}{\lim }\frac{9x^2-1}{3x^2+2x-1}=\dots$  

Wstawiamy w miejsce x w ułamku x=1/3 i otrzymujemy:

$\dots =\left[\frac{9\cdot {\left(\frac{1}{3}\right)}^2-1}{3\cdot {\left(\frac{1}{3}\right)}^2+2\cdot \frac{1}{3}-1}\right]=\left[\frac{9\cdot \frac{1}{9}-1}{3\cdot \frac{1}{9}+\frac{2}{3}-1}\right]=\left[\frac{0}{0}\right]$  

Otrzymaliśmy symbol nieoznaczony. Rozkładamy zatem licznik i mianownik ułamka na czynniki.

Licznik:

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów.

$9x^2-1={\left(3x\right)}^2-1^2=\left(3x-1\right)\left(3x+1\right)$

Mianownik:

$y=3x^2+2x-1$

$\Delta =2^2-4\cdot 3\cdot \left(-1\right)=4+12=16,\sqrt{\Delta }=4$  

$x_1=\frac{-2-4}{2\cdot 3}=\frac{-6}{6}=-1$  

$x_2=\frac{-2+4}{6}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$  

Zapisujemy trójmian kwadratowy w postaci iloczynowej.

$3x^2+2x-1=3\left(x-\frac{1}{3}\right)\left(x+1\right)=\left(3x-1\right)\left(x+1\right)$  

Zatem szukana granica sprowadza się do postaci.

$\underset{x\to \frac{1}{3}}{\lim }\frac{9x^2-1}{3x^2+2x-1}=\underset{x\to \frac{1}{3}}{\lim }\frac{\cancel{\left(3x-1\right)}\left(3x+1\right)}{\cancel{\left(3x-1\right)}\left(x+1\right)}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{3x+1}{x+1}=\frac{3\cdot \frac{1}{3}+1}{\frac{1}{3}+1}=\frac{2}{\frac{4}{3}}=2\cdot \frac{3}{4}=\underline{\underline{\frac{3}{2}}}$    

---

g)

Obliczamy granicę

$\underset{x\to 5}{\lim }\frac{25x-x^3}{x^2-4x-5}=\dots$  

Wstawiamy w miejsce x w ułamku x=5 i otrzymujemy:

$\dots =\left[\frac{25\cdot 5-5^3}{5^2-4\cdot 5-5}\right]=\left[\frac{125-125}{25-20-5}\right]=\left[\frac{0}{0}\right]$  

Otrzymaliśmy symbol nieoznaczony. Rozkładamy zatem licznik i mianownik ułamka na czynniki.

Licznik:

Wyłączamy wspólny czynnik przed nawias i następnie korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów.

$25x-x^3=x\left(25-x^2\right)=x\left(5-x\right)\left(5+x\right)=-x\left(x-5\right)\left(x+5\right)$

Mianownik:

$y=x^2-4x-5$

$\Delta ={\left(-4\right)}^2-4\cdot 1\cdot \left(-5\right)=16+20=36,\sqrt{\Delta }=6$  

$x_1=\frac{4-6}{2\cdot 1}=\frac{-2}{2}=-1$  

$x_2=\frac{4+6}{2}=\frac{10}{2}=5$  

Zapisujemy trójmian kwadratowy w postaci iloczynowej.

$x^2-4x-5=\left(x+1\right)\left(x-5\right)$  

Zatem szukana granica sprowadza się do postaci.

$\underset{x\to 5}{\lim }\frac{25x-x^3}{x^2-4x-5}=\underset{x\to 5}{\lim }\frac{-x\cancel{\left(x-5\right)}\left(x+5\right)}{\left(x+1\right)\cancel{\left(x-5\right)}}=\underset{x\to 5}{\lim }\frac{-x\left(x+5\right)}{x+1}=\frac{-5\left(5+5\right)}{5+1}=-\frac{50}{6}=\underline{\underline{-\frac{25}{3}}}$    

---

h)

Obliczamy granicę

$\underset{x\to -4}{\lim }\frac{x^3+3x^2-4x}{x^2+7x+12}=\dots$  

Wstawiamy w miejsce x w ułamku x=-4 i otrzymujemy:

$\dots =\left[\frac{{\left(-4\right)}^3+3\cdot {\left(-4\right)}^2-4\cdot \left(-4\right)}{{\left(-4\right)}^2+7\cdot \left(-4\right)+12}\right]=\left[\frac{-64+48+16}{16-28+12}\right]=\left[\frac{0}{0}\right]$  

Otrzymaliśmy symbol nieoznaczony. Rozkładamy zatem licznik i mianownik ułamka na czynniki.

Licznik:

Wyłączamy wspólny czynnik przed nawias i następnie zapisujemy trójmian kwadratowy w postaci iloczynowej.

$x^3+3x^2-4x=x\left(x^2+3x-4\right)$

$\Delta =3^2-4\cdot 1\cdot \left(-4\right)=9+16=25,\sqrt{\Delta }=5$  

$x_1=\frac{-3-5}{2}=-4$  

$x_2=\frac{-3+5}{2}=\frac{2}{2}=1$   

Stąd

$x\left(x^2+3x-4\right)=x\left(x+4\right)\left(x-1\right)$  

Mianownik:

$y=x^2+7x+12$

$\Delta =7^2-4\cdot 1\cdot 12=49-28=1,\sqrt{\Delta }=1$  

$x_1=\frac{-7-1}{2\cdot 1}=\frac{-8}{2}=-4$  

$x_2=\frac{-7+1}{2}=\frac{-6}{2}=-3$  

Zapisujemy trójmian kwadratowy w postaci iloczynowej.

$x^2+7x+12=\left(x+4\right)\left(x+3\right)$  

Zatem szukana granica sprowadza się do postaci.

$\underset{x\to -4}{\lim }\frac{x^3+3x^2-4x}{x^2+7x+12}=\underset{x\to -4}{\lim }\frac{x\cancel{\left(x+4\right)}\left(x-1\right)}{\cancel{\left(x+4\right)}\left(x+3\right)}=\underset{x\to -4}{\lim }\frac{-x\left(x-1\right)}{x+3}=\frac{-4\left(-4-1\right)}{-4+3}=\frac{20}{-1}=\underline{\underline{-20}}$    

---

i)

Obliczamy granicę

$\underset{x\to \frac{1}{2}}{\lim }\frac{16x^3-2}{8x^2-6x+1}=\dots$  

Wstawiamy w miejsce x w ułamku x= ½ i otrzymujemy:

$\dots =\left[\frac{16\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^3-2}{8\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^2-6\cdot \frac{1}{2}+1}\right]=\left[\frac{16\cdot \frac{1}{8}-2}{8\cdot \frac{1}{4}-3+1}\right]=\left[\frac{0}{0}\right]$  

Otrzymaliśmy symbol nieoznaczony. Rozkładamy zatem licznik i mianownik ułamka na czynniki.

Licznik:

Wyłączamy wspólny czynnik przed nawias i następnie korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę sześcianów: a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²).

$16x^3-2=2\left(8x^3-1\right)=2\left({\left(2x\right)}^3-1^3\right)=2\left(2x-1\right)\left(4x^2+2x+1\right)=$

   $=2\cdot 2\left(x-\frac{1}{2}\right)\left(4x^2+2x+1\right)=4\left(x-\frac{1}{2}\right)\left(4x^2+2x+1\right)$  

Mianownik:

$y=8x^2-6x+1$

$\Delta ={\left(-6\right)}^2-4\cdot 8\cdot 1=26-32=4,\sqrt{\Delta }=2$  

$x_1=\frac{6-2}{2\cdot 8}=\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$  

$x_2=\frac{6+2}{16}=\frac{8}{16}=\frac{1}{2}$  

Zapisujemy trójmian kwadratowy w postaci iloczynowej.

$8x^2-6x+1=8\left(x-\frac{1}{4}\right)\left(x-\frac{1}{2}\right)$  

Zatem szukana granica sprowadza się do postaci.

$\underset{x\to \frac{1}{2}}{\lim }\frac{16x^3-2}{8x^2-6x+1}=\underset{x\to \frac{1}{2}}{\lim }\frac{{\cancel{4}}^1\cancel{\left(x-\frac{1}{2}\right)}\left(4x^2+2x+1\right)}{{\cancel{8}}_2\left(x-\frac{1}{4}\right)\cancel{\left(x-\frac{1}{2}\right)}}=\underset{x\to \frac{1}{2}}{\lim }\frac{4x^2+2x+1}{2x-\frac{1}{2}}=$    

$=\frac{4\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^2+2\cdot \frac{1}{2}+1}{2\cdot \frac{1}{2}-\frac{1}{2}}=\frac{1+1+1}{\frac{1}{2}}=\frac{3}{\frac{1}{2}}=\underline{\underline{6}}$