Rozważamy trójkąt prostokątny ABC. Wprowadźmy oznaczenia:

$\left|\sphericalangle CAB\right|=\alpha ,\left|\sphericalangle ABC\right|=\beta$  

Rysunek:

Zauważmy, że z sumy miar kątów w trójkącie ABC mamy:

$\alpha +\beta +{90}^{\circ }={180}^{\circ }\mid -{90}^{\circ }$  

$\alpha +\beta ={90}^{\circ }$  

Spójrzmy na trójkąt BCD. Z sumy miar kątów w tym trójkącie mamy:

$\beta +{90}^{\circ }+\left|\sphericalangle BCD\right|={180}^{\circ }$  

$\beta +{90}^{\circ }+\left|\sphericalangle BCD\right|={180}^{\circ }\mid -{90}^{\circ }-\beta$  

$\left|\sphericalangle BCD\right|={90}^{\circ }-\beta$  

Czyli

$\left|\sphericalangle BCD\right|=\alpha$  

W trójkącie prostokątnym ADC mamy:

$\left|\sphericalangle ACD\right|+{90}^{\circ }+\alpha ={180}^{\circ }$  

Czyli

$\left|\sphericalangle ACD\right|={90}^{\circ }-\alpha =\beta$   

Nanosimy otrzymane kąty na rysunek.

Rysunek:

 

Mamy wskazać pary trójkątów podobnych. Na rysunku mamy trzy trójkąty prostokątne o kątach 𝛼, 𝛽, 90°. Wobec tego pary trójkątów podobnych to:

•   $△ABC\sim △CBD$   
•   $△ABC\sim △ACD$   
•   $△ACD\sim △CBD$   

---

a)

Obliczamy obwód trójkąta ACD. Sporządzamy rysunek pomocniczy. Przyjmujemy oznaczenia takie jak na rysunku.

Rysunek:

Korzystamy z podobieństwa trójkątów CBD i ACD i mamy:

$\frac{\left|BD\right|}{\left|CD\right|}=\frac{\left|CD\right|}{\left|AD\right|}$  

Czyli

$\frac{3}{h}=\frac{h}{4}$   

Stąd, z własności proporcji, otrzymujemy

$h^2=3\cdot 4$   

$h^2=12,h>0$  

Zatem

$h=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$  

Stosujemy twierdzenie Pitagorasa w trójkącie prostokątnym ACD i wyznaczamy b:

$h^2+4^2=b^2$  

$12+16=b^2$  

$28=b^2$  

$b^2=28,b>0$  

Czyli

$b=\sqrt{28}=2\sqrt{7}$  

Mając długości wszystkich boków trójkąta ACD, obliczamy jego obwód.

$L=4+2\sqrt{3}+2\sqrt{7}=\underline{\underline{2\left(2+\sqrt{3}+\sqrt{7}\right)}}$  

---

b)

Obliczamy obwód trójkąta ACD. Sporządzamy rysunek pomocniczy. Przyjmujemy oznaczenia takie jak na rysunku.

Rysunek:

Korzystamy z podobieństwa trójkątów CBD i ACD i mamy:

$\frac{\left|BD\right|}{\left|CD\right|}=\frac{\left|CD\right|}{\left|AD\right|}$  

Czyli

$\frac{x}{h}=\frac{h}{16}$   

Stąd, z własności proporcji, otrzymujemy

$h^2=16x$   

Korzystamy teraz z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie prostokątnym BDC i obliczamy x.

$x^2+\underset{16x}{\underbrace{h^2}}={15}^2$  

$x^2+16x=225$  

$x^2+16x-225=0$  

Rozwiązujemy równanie kwadratowe.

$\Delta ={16}^2-4\cdot 1\cdot \left(-225\right)=256+900=1156$  

$\sqrt{\Delta }=\sqrt{1156}=34$  

$x_1=\frac{-16-34}{2}=\frac{-40}{2}=-25<0$  

$x_2=\frac{-16+34}{2}=\frac{18}{2}=9>0$  

x jest długością boku, więc jest liczbą dodatnią. Wobec tego odrzucamy ujemne rozwiązanie x₁ i mamy, że

$\underline{\underline{x=9}}$  

Stąd mamy, że 

$h^2=16x=16\cdot 9=144,h>0$  

Czyli

$h=\sqrt{144}=12$  

Stosujemy twierdzenie Pitagorasa w trójkącie prostokątnym ACD i wyznaczamy b:

$h^2+{16}^2=b^2$  

$144+256=b^2$  

$400=b^2$  

$b^2=400,b>0$  

Czyli

$b=\sqrt{400}=20$  

Mając długości wszystkich boków trójkąta ACD, obliczamy jego obwód.

$L=16+12+20=\underline{\underline{48}}$