Mamy obliczyć sumę 

$5+9+13+\dots +105$  

---

Zauważmy, że kolejne składniki sumy są wyrazami ciągu arytmetycznego, w którym pierwszy wyraz jest równy

$a_1=5$  

Z kolei różnica tego ciągu wynosi

$r=a_2-a_1=9-5=4$  

Ostatnim wyrazem ciągu jest

$a_n=105$  

---

Skorzystamy ze wzoru na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego. W tym celu musimy wyznaczyć liczbę wyrazów ciągu (a_n). Korzystamy ze wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego:

$a_n=a_1+\left(n-1\right)r$

Stąd

$\underset{a_n}{\underbrace{105}}=5+\left(n-1\right)\cdot 4$  

$105=5+4n-4$  

$105=4n+1$  

Czyli

$4n+1=105\mid -1$  

$4n=104\mid :4$  

$n=26$  

Wobec tego ciąg (a_n) ma 26 wyrazów.

---

Korzystamy ze wzoru na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego

  $S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n$  

Zatem

$\underset{S_{26}}{\underbrace{5+9+13+\dots +105}}=\frac{\stackrel{a_1}{\overbrace{5}}+\stackrel{a_{26}}{\overbrace{105}}}{{\cancel{2}}_1}\cdot {\cancel{26}}^{13}=110\cdot 13=\underline{\underline{1430}}$  

Stąd otrzymujemy, że szukana suma jest równa

$\underline{\underline{5+9+13+\dots +105=1430}}$