Informacja do zadań 29.1 i 29.2

Dane jest równanie

$\frac{\left(x-1\right)\left(x+a\right)}{\left(x-b\right)\left(x+1\right)}=0$  

---

Mamy wskazać parametrów a i b, dla których równanie ma 2 rozwiązania.

Wyznaczamy dziedzinę równania. Zakładamy, że

$\left(x-b\right)\left(x+1\right)\ne 0$   

$x-b\ne 0\wedge x+1\ne 0$  

Czyli

$x\ne b\wedge x\ne -1$  

Stąd dziedziną równania jest zbiór postaci

$D=\mathbb{R}\backslash \left\{-1,b\right\}$  

Lewa strona równania jest ułamkiem. Ułamek jest równy 0 tylko wtedy, gdy licznik jest równy 0, a mianownik zerem nie jest. Stąd mamy, że

$\left(x-1\right)\left(x+a\right)=0$  

Czyli

   $x-1=0\vee x+a=0$   

$x=1\vee x=-a$  

Sprawdzamy, ile rozwiązań ma równanie dla poszczególnych wartości parametrów a i b.

---

A.   $a=-1,b=-1$   

Dziedziną równania jest

$D=\mathbb{R}\backslash \left\{-1\right\}$  

Rozwiązania równania mają postać

$x=1\in D\vee x=-\left(-1\right)=1\in D$  

W tym przypadku otrzymaliśmy, że równanie ma jedno rozwiązanie

$x=1$  

Zatem odpowiedź A nie jest prawidłowa.

---

B.   $a=1,b=1$   

Dziedziną równania jest

$D=\mathbb{R}\backslash \left\{-1,1\right\}$  

Rozwiązania równania mają postać

$x=1\notin D\vee x=-1\notin D$  

W tym przypadku otrzymaliśmy, że równanie nie ma rozwiązań

Zatem odpowiedź B nie jest prawidłowa.

---

C.   $a=0,b=-1$   

Dziedziną równania jest

$D=\mathbb{R}\backslash \left\{-1\right\}$  

Rozwiązania równania mają postać

$x=1\in D\vee x=0\in D$  

W tym przypadku otrzymaliśmy, że równanie ma dwa rozwiązania

Zatem odpowiedź C  jest prawidłowa.

---

Odp.: C