Rozważamy prostopadłościan ABCDEFGH. 

Sporządzamy rysunek pomocniczy. Przyjmujemy oznaczenia takie jak na rysunku.

Rysunek:

Z treści zadania wiemy, że

$\text{tg}\beta =\frac{9}{7}$  

$\left|BG\right|=2\sqrt{130}$  

$\left|BH\right|=2\sqrt{194}$  

---

Z definicji funkcji tangens w trójkącie prostokątnym BCG otrzymujemy, że

$\text{tg}\beta =\frac{c}{a}$  

Zatem mamy, że

$\frac{c}{a}=\frac{9}{7}$  

To oznacza, że długości a i c pozostają do siebie w stosunku 9:7. Stąd możemy zapisać, że

$c=9x,a=7x$  

gdzie x jest pewną liczbą dodatnią.

---

Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie prostokątnym BCG otrzymujemy:

${\left(9x\right)}^2+{\left(7x\right)}^2={\left|BG\right|}^2$  

$81x^2+49x^2={\left(2\sqrt{130}\right)}^2$  

$130x^2=4\cdot 130\mid :130$  

$x^2=4\wedge x>0$  

Stąd

$x=2$  

Zatem

$a=7x=7\cdot 2=14$  

$c=9x=9\cdot 12=18$  

---

Rozważamy teraz trójkąt prostokątny DBH. Zauważmy, że

$\left|DH\right|=c=18$  

Z twierdzenia Pitagorasa w tym trójkącie otrzymujemy:

${\left|DH\right|}^2+{|DB|}^2={|BH|}^2$  

${18}^2+{\left|DB\right|}^2={\left(2\sqrt{194}\right)}^2$  

$324+{\left|DB\right|}^2=4\cdot 194$  

$324+{\left|DB\right|}^2=776\mid -324$  

Stąd

${\left|DB\right|}^2=452$  

---

Spójrzmy teraz na trójkąt prostokątny utworzony przez dwie sąsiednie krawędzie i przekątną podstawy - trójkąt ADB. Zauważmy, że

$\left|AD\right|=a=14$  

Z twierdzenia Pitagorasa w tym trójkącie mamy:

$a^2+b^2={\left|DB\right|}^2$  

${14}^2+b^2=452$  

$196+b^2=452\mid -196$  

$b^2=256\wedge b>0$  

Stąd

$b=\sqrt{256}=16$  

---

Otrzymaliśmy, że trzy różne krawędzie prostopadłościanu mają długości:

$a=14,b=16,c=18$  

Powierzchnia całkowita prostopadłościanu składa się z sześciu prostokątów: dwóch prostokątów o wymiarach a i b, dwóch prostokątów o wymiarach a i c oraz dwóch prostokątów o wymiarach b i c. Stąd pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu jest równe:

$P_c=2ab+2ac+2bc=2\cdot 14\cdot 16+2\cdot 14\cdot 18+2\cdot 16\cdot 18=448+504+576=\underline{\underline{1528}}$