Bryły podobne

Stosunek objętości podobnych figur przestrzennych jest równy sześcianowi skali podobieństwa, tzn. jeżeli figury przestrzenne o objętościach V1 i V2 są podobne w skali k, to

$\frac{V_1}{V_2}=k^3$

---

Rozważamy dwa prostopadłościany podobne K₁ i K₂. Wiemy, że stosunek objętości prostopadłościanu K₂ do objętości prostopadłościanu K₁ jest równy 64. 

Wymiary prostopadłościanu K₁ wynoszą

$a_1=2\left[\text{cm}\right]$  

$b_1=5\left[\text{cm}\right]$  

$c_1=6\left[\text{cm}\right]$  

---

Objętość prostopadłościanu K₁ jest równa:

$V_1=a_1\cdot b_1\cdot c_1=2\cdot 5\cdot 6=60\left[{\text{cm}}^3\right]$  

Oznaczmy przez V₂ objętość prostopadłościanu K₂. Mamy zatem

$\frac{V_2}{V_1}=64$  

$\frac{V_2}{60}=64\mid \cdot 60$  

Czyli objętość prostopadłościanu jest równa

$V_2=3840\left[{\text{cm}}^3\right]$  

---

Przypomnijmy, że stosunek objętości brył podobnych jest równy sześcianowi skali podobieństwa. Niech k oznacza skalę podobieństwa prostopadłościanu K₂ do prostopadłościanu K₁ . Wtedy:

$k^3=64$  

Czyli prostopadłościan K₂ jest podobny do prostopadłościanu K₁ w skali

$k=\sqrt[3]{64}=4$  

To oznacza, że odpowiadające krawędzie w prostopadłościanie K₂ są cztery razy dłuższe od odpowiadających im krawędzi w prostopadłościanie K₁.  Stąd wymiary prostopadłościanu K₂ wynoszą

$a_2=4\cdot 2=8\left[\text{cm}\right]$  

$b_2=4\cdot 5=20\left[\text{cm}\right]$  

$c_2=4\cdot 6=24\left[\text{cm}\right]$  

---

Odp.: 3 840 cm³,  8 cm, 20 cm, 24 cm.