Rozważamy ostrosłup prawidłowy trójkątny, czyli ostrosłup, którego podstawą jest trójkąt równoboczny.

Krawędź podstawy ma długość

$a=6$  

Sporządzamy rysunek pomocniczy. Przyjmujemy oznaczenia takie jak na rysunku.

Rysunek:

Na rysunku zaznaczyliśmy kąt 𝛼  - kąt nachylenia wysokości ściany bocznej do płaszczyzny podstawy. 

Spodkiem wysokości ostrosłupa prawidłowego trójkątnego jest punkt przecięcia wysokości podstawy. Odcinek OD stanowi ⅓ wysokości trójkąta równobocznego. Ze wzoru na wysokość trójkąta równobocznego otrzymujemy:

$\left|OD\right|=\frac{1}{3}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{6}=\frac{6\sqrt{3}}{6}=\sqrt{3}$  

Wysokość ściany bocznej obliczymy z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie prostokątnym BDS. Odcinek BD ma długość równą połowie długości krawędzi podstawy, czyli

$\left|BD\right|=3$  

Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie BDS otrzymujemy:

${\left|SD\right|}^2+{\left|BD\right|}^2=4^2$  

${\left|SD\right|}^2+3^2=16$  

${\left|SD\right|}^2+9=16\mid -9$  

${\left|SD\right|}^2=7\wedge \left|SD\right|>0$  

Stąd

$\left|SD\right|=\sqrt{7}$  

---

Z definicji funkcji cosinus w trójkącie prostokątnym BDS otrzymujemy, że cosinus kąta 𝛼  jest równy:

$\cos \alpha =\frac{\left|OD\right|}{\left|SD\right|}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}=\frac{\sqrt{3}\cdot \sqrt{7}}{\sqrt{7}\cdot \sqrt{7}}=\underline{\underline{\frac{\sqrt{21}}{7}}}$