Pole powierzchni graniastosłupa

Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa wyraża się wzorem:

$P_c=2P_p+P_b,$

gdzie Pp oznacza pole podstawy, a Pb - pole powierzchni bocznej graniastosłupa.

---

a)

Podstawą graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest kwadrat. Krawędź podstawy ma długość 

$a=2$

a pole powierzchni całkowitej jest równe

$P_c=36$  

Mamy wyznaczyć wysokość tego graniastosłupa.

Sporządzamy rysunek pomocniczy. Przyjmujemy oznaczenia takie jak na rysunku.

Rysunek:

Obliczamy pole podstawy. Mamy:

$P_p=a^2=2^2=4$  

Zapisujemy pole powierzchni bocznej jako sumę pól czterech przystających prostokątów, którego boki mają długość a i H.

$P_b=4\cdot a\cdot H=4\cdot 2\cdot H=8H$

Ze wzoru na pole powierzchni całkowitej graniastosłupa mamy:

$P_c=2P_p+P_b=2\cdot 4+8H=8+8H$  

Z drugiej strony wiemy, że pole powierzchni całkowitej jest równe 36. Stąd otrzymujemy równanie

$8+8H=36$  

$8H=28\mid :8$  

Wysokość graniastosłupa jest równa

$H=\frac{28}{8}=\underline{\underline{\frac{7}{2}}}$  

---

b)

Podstawą graniastosłupa prawidłowego trójkątnego jest trójkąt równoboczny. Krawędź podstawy ma długość 

$a=2$

a pole powierzchni całkowitej jest równe

$P_c=36$  

Mamy wyznaczyć wysokość tego graniastosłupa.

Sporządzamy rysunek pomocniczy. Przyjmujemy oznaczenia takie jak na rysunku.

Rysunek:

Obliczamy pole podstawy. Ze wzoru na pole trójkąta równobocznego otrzymujemy

$P_p=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{2^2\sqrt{3}}{4}=\frac{4\sqrt{3}}{4}=\sqrt{3}$  

Zapisujemy pole powierzchni bocznej jako sumę pól trzech przystających prostokątów, którego boki mają długość a i H.

$P_b=3\cdot a\cdot H=3\cdot 2\cdot H=6H$

Ze wzoru na pole powierzchni całkowitej graniastosłupa mamy:

$P_c=2P_p+P_b=2\cdot \sqrt{3}+6H=2\sqrt{3}+6H$  

Z drugiej strony wiemy, że pole powierzchni całkowitej jest równe 36. Stąd otrzymujemy równanie

$2\sqrt{3}+6H=36$  

$6H=36-2\sqrt{3}\mid :6$  

Wysokość graniastosłupa jest równa

$H=\frac{36-2\sqrt{3}}{6}=\underline{\underline{6-\frac{\sqrt{3}}{3}}}$  

---

c)

Podstawą graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego jest sześciokąt foremny. Krawędź podstawy ma długość 

$a=2$

a pole powierzchni całkowitej jest równe

$P_c=36$  

Mamy wyznaczyć wysokość tego graniastosłupa.

Sporządzamy rysunek pomocniczy. Przyjmujemy oznaczenia takie jak na rysunku.

Rysunek:

Obliczamy pole podstawy. Przypomnijmy, że sześciokąt foremny, którego bok ma długość a, można podzielić na sześć przystających trójkątów równobocznych, każdy o boku długości a. Ze wzoru na pole trójkąta równobocznego otrzymujemy:

$P_p=6\cdot P_{△}=6\cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4}=6\cdot \frac{2^2\sqrt{3}}{4}=6\cdot \frac{4\sqrt{3}}{4}=6\sqrt{3}$  

Zapisujemy pole powierzchni bocznej jako sumę pól sześciu przystających prostokątów, którego boki mają długość a i H.

$P_b=6\cdot a\cdot H=6\cdot 2\cdot H=12H$

Ze wzoru na pole powierzchni całkowitej graniastosłupa mamy:

$P_c=2P_p+P_b=2\cdot 6\sqrt{3}+12H=12\sqrt{3}+12H$  

Z drugiej strony wiemy, że pole powierzchni całkowitej jest równe 36. Stąd otrzymujemy równanie

$12\sqrt{3}+12H=36\mid :12$  

$\sqrt{3}+H=3\mid -\sqrt{3}$  

Wysokość graniastosłupa jest równa

$H=\underline{\underline{3-\sqrt{3}}}$