(Podczas tej lekcji przypomnimy, ile wynosi suma miar kątów w trójkątach i czworokątach oraz przećwiczymy zadania związane z obliczaniem miar kątów w trójkątach i czworokątach z wykorzystaniem tych informacji oraz własności przedstawionych w lekcji "Kąty, symetralna odcinka, dwusieczna kąta".)

Podczas tej lekcji:

• przypomnimy, ile wynosi suma miar kątów wewnętrznych w trójkątach i czworokątach
• przećwiczymy obliczanie miar kątów w wielokątach

---

(Przypomnijmy początkowo twierdzenia, które znacie już ze szkoły podstawowej. Pierwsze z nich mówi, że suma miar kątów wewnętrznych w trójkącie wynosi 180 stopni. Drugie twierdzenie informuje nas, że suma miar kątów wewnętrznych w czworokącie wynosi 360 stopni.)

Twierdzenie

Suma miar kątów wewnętrznych w trójkącie wynosi $180^{\circ }$.

Twierdzenie

Suma miar kątów wewnętrznych w czworokącie wynosi $360^{\circ }$.

(Omówimy jeszcze najważniejsze informacje, które należy pamiętać odnośnie kątów w trójkątach. Po pierwsze w trójkącie równoramiennym kąty przy podstawie mają równe miary, a poza tym w trójkącie równobocznym wszystkie katy mają po 60 stopni. Jeśli chodzi o ważne informacje dotyczące kątów w czworokątach, które należy pamiętać,, to: w równoległoboku kąty leżące na przeciw siebie mają równe miary, poza tym w trapezie (a co za tym idzie również w równoległoboku) katy leżące przy jednym ramieniu mają w sumie 180 stopni, dodatkowo warto też mieć na uwadze, że w trapezie równoramiennym kąty przy podstawach są sobie równe)

Kąty w trójkątach - najważniejsze informacje

• w trójkącie równoramiennym kąty przy podstawie mają równe miary
• w trójkącie równobocznym wszystkie katy mają $60^{\circ }$

Kąty w czworokątach - najważniejsze informacje

• w równoległoboku kąty leżące na przeciw siebie mają równe miary
• w trapezie katy leżące przy jednym ramieniu mają w sumie $180^{\circ }$
• w trapezie równoramiennym kąty przy podstawach są sobie równe

Przykład 1

---

Zadania maturalne

(Przyjrzymy się teraz kilku zadaniom typu maturalnego, w których zastosujemy wiadomości przypomniane przed chwilą w części praktycznej. W zadaniu pierwszym mamy rysunek równoległoboku z zaznaczonymi kątami alfa, beta i gamma. Wiadomo, że miara kąta alfa to 60 stopni. Musimy uzupełnić tabelę wpisując odpowiednią literę, tak żeby dokończyć zdania podane w tabeli dotyczące miar kątów: beta i gamma. Więc po pierwsze zaznaczmy na rysunku kąty proste. Poprowadzony odcinek jest wysokością równoległoboku, ponieważ skoro jest  prostopadły do jednej podstawy, to do drugiej też musi być prostopadły, bo podstawy są do siebie równoległe. Następnie zajmijmy się trójkątem, który [odświetlenie trójkąta na górze równoległoboku] powstał do góry. Suma miar kątów wewnętrznych w trójkącie to 180 stopni, więc skoro alfa ma 60 stopni, to trzeci kąt w tym trójkącie musi mieć 30 stopni. Obliczmy teraz miarę kąta beta. Wiemy, że razem z kątem 30 stopni tworzy on kąt prosty, więc jego miara to 60 stopni. Możemy teraz przyjrzeć się czworokątowi powstałemu  [odświetlenie czworokąta w środku równoległoboku] w środku równoległoboku. Suma miar kątów wewnętrznych w czworokątach to 360 stopni, więc żeby obliczyć miarę kąta gamma, wystarczy od trzystu sześćdziesięciu stopni odjąć 2 razy 90 stopni i 60 stopni. Dostajemy ostatecznie 120 stopni. Uzupełniamy więc tabelę. Miara kąta beta to 60 stopni, czyli odpowiedź C, a miara beta gamma to 120 stopni, czyli E.)

Zadanie 1. Na poniższym rysunku przedstawiono równoległobok $ABCD$ o kącie $\alpha$ równym $60^{\circ }$.

rys.

Uzupełnij tabelę. Wpisz w każdą pustą komórkę tabeli właściwą odpowiedź, wybraną spośród oznaczonych literami A-E.

1.1.	Miara kąta $\beta$ wynosi
1.2.	Kąt $\gamma$ ma miarę

A. $30^{\circ }$                  B. $45^{\circ }$                 C. $60^{\circ }$                  D. $100^{\circ }$                   E. $120^{\circ }$                   F. $150^{\circ }$

Rozwiązanie

Zaznaczamy kąty proste na rysunku.

$180^{\circ }-90^{\circ }-60^{\circ }=30^{\circ }$

$\beta =90^{\circ }-30^{\circ }=60^{\circ }$

$\gamma =360^{\circ }-2\cdot 90^{\circ }-60^{\circ }=360^{\circ }-240^{\circ }=120^{\circ }$

1.1.	Miara kąta $\beta$ wynosi	C
1.2.	Kąt $\gamma$ ma miarę	E

teoria:

Twierdzenie

Suma miar kątów wewnętrznych w trójkącie wynosi $180^{\circ }$.

Twierdzenie

Suma miar kątów wewnętrznych w czworokącie wynosi $360^{\circ }$.

---

(W kolejnym zadaniu dany jest trójkąt równoramienny, w którym AB i AC mają równe długości oraz miara kąta BCA to 46 stopni. Dodatkowo dwusieczna kąta ABC przecina bok AC w punkcie D, a odcinek BE jest wysokością podanego trójkąta, wychodzącą z wierzchołka B. Naszym celem jest znalezienie miary kąta EBC.)

Zadanie 2. Dany jest trójkąt równoramienny $ABC$, w którym $\left|AB\right|=\left|AC\right|$ oraz $\left|\sphericalangle BCA\right|=46^{\circ }$. Dwusieczna kąta $ABC$ przecina bok $AC$ w punkcie $D$, a odcinek $BE$ jest wysokością trójkąta $ABC$ wychodzącą z wierzchołka $B$. Rysunek poniżej.

 

 

 

 

Dokończ zdanie, wybierając poprawną odpowiedź spośród podanych.

Kąt $EBC$ ma miarę

A. $18^{\circ }$                                    B. $21^{\circ }$                                     C. $23^{\circ }$                                D. $25^{\circ }$

Rozwiązanie

Korzystając z tego, że $\left|AB\right|=\left|AC\right|$ dostajemy, że

$\left|\sphericalangle ABC\right|=\left|\sphericalangle BCA\right|=46^{\circ }$

(Wykorzystujemy teraz informację, że dwusieczna kąta ABC przecina bok  AC w punkcie D. Dostajemy z tego, że miary kątów ABD i DBC są sobie równe, więc aby je obliczyć wystarczy miarę całego kata ABC podzielić na dwie równe części)

$\left|\sphericalangle ABD\right|=\left|\sphericalangle DBC\right|=\frac{46^{\circ }}{2}=23^{\circ }$

rys.

$\left|\sphericalangle BEA\right|=\left|\sphericalangle BEC\right|=90^{\circ }$

$\left|\sphericalangle BAC\right|=180^{\circ }-2\cdot 46^{\circ }=180^{\circ }-92^{\circ }=88^{\circ }$

rys.

$\left|\sphericalangle ABE\right|=180^{\circ }-88^{\circ }-90^{\circ }=180^{\circ }-178^{\circ }=2^{\circ }$

$\left|\sphericalangle EBD\right|=23^{\circ }-2^{\circ }=21^{\circ }$

teoria:

Twierdzenie

Suma miar kątów wewnętrznych w trójkącie wynosi $180^{\circ }$.

Dwusieczna kąta to półprosta wychodząca z wierzchołka kąta, dzieląca go na dwa równe kąty.

rys

---

Zadanie 3. Na poniższym rysunku dany jest trapez $ABCD$, w którym poprowadzono przekątną $BD$, prostopadłą do do ramienia $AD$. Ponadto  $\left|\sphericalangle ABD\right|=35^{\circ }$ oraz $\left|BC\right|=\left|CD\right|$. 

rys.

Dokończ poniższe zdanie zdanie wpisując odpowiednią miarę kąta.

Miara kąta $BCD$ jest równa ............................. .

Rozwiązanie

$\left|\sphericalangle ADB\right|=90^{\circ }$

$\left|\sphericalangle BAD\right|=180^{\circ }-90^{\circ }-35^{\circ }=180^{\circ }-125^{\circ }=55^{\circ }$

$\left|\sphericalangle ADC\right|=180^{\circ }-55^{\circ }=125^{\circ }$

$\left|\sphericalangle BDC\right|=125^{\circ }-90^{\circ }=35^{\circ }$

$\left|BC\right|=\left|CD\right|$ więc $\left|\sphericalangle BDC\right|=\left|\sphericalangle CBD\right|=35^{\circ }$

$\left|\sphericalangle BCD\right|=180^{\circ }-2\cdot 35^{\circ }=180^{\circ }-70^{\circ }=110^{\circ }$

teoria:

Twierdzenie

Suma miar kątów wewnętrznych w trójkącie wynosi $180^{\circ }$.

W trapezie katy leżące przy jednym ramieniu mają w sumie $180^{\circ }$.