Wzory redukcyjne

Dla dowolnego kąta ostrego $\alpha$ zachodzą wzory: (POŁĄCZYĆ ?)

$\sin \left(90^{\circ }-\alpha \right)=\cos \alpha$

$\cos \left(90^{\circ }-\alpha \right)=\sin \alpha$

Dla kąta $\alpha \in \left(0^{\circ },180^{\circ }\right)$ zachodzą wzory:

$\sin \left(180^{\circ }-\alpha \right)=\sin \alpha$

$\cos \left(180^{\circ }-\alpha \right)=-\cos \alpha$

$\mathrm{tg}\left(180^{\circ }-\alpha \right)=-\mathrm{tg}\alpha$

 

---

 

Przykład 1. Oblicz:

a) $\sin 120^{\circ }=\sin \left(180^{\circ }-60^{\circ }\right)=\sin 60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$

b) $\cos 135^{\circ }=\cos \left(180^{\circ }-45^{\circ }\right)=-\cos 45^{\circ }=-\frac{\sqrt{2}}{2}$

c) $\mathrm{tg}150^{\circ }=\mathrm{tg}\left(180^{\circ }-30^{\circ }\right)=-\mathrm{tg}30^{\circ }=-\frac{\sqrt{3}}{3}$

Przykład 2. Wyznacz przybliżoną wartość podanych funkcji trygonometrycznych:

a) coś typu sin 95, cos 131 itp

b)

c)

 

Przykład 3. jakieś rozbudowane wyrażenia do obliczenia typu sin135*tg120-cos60

a)

b)

c)

 

 

 

---

 

 

Zadanie x. Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wartość wyrażenia $\frac{\sin 27^{\circ }}{\cos 63^{\circ }}+\frac{\cos 47^{\circ }}{\sin 43^{\circ }}$ jest równa

A.  $0$                         B.  $\frac{1}{2}$                         C.  $1$                         D.  $2$

Rozwiązanie

$\sin 27^{\circ }=\sin \left(90^{\circ }-63^{\circ }\right)=\cos 63^{\circ }$

$\cos 47^{\circ }=\cos \left(90^{\circ }-43^{\circ }\right)=\sin 43^{\circ }$

$\frac{\sin 27^{\circ }}{\cos 63^{\circ }}+\frac{\cos 47^{\circ }}{\sin 43^{\circ }}=\frac{\cos 63^{\circ }}{\cos 63^{\circ }}+\frac{\sin 43^{\circ }}{\sin 43^{\circ }}=1+1=2$

 

---

 

 

Zadanie x. Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba $\frac{1}{2}\mathrm{tg}120^{\circ }$ jest równa

A.  $\mathrm{tg}60^{\circ }$                    B.  $\cos 30^{\circ }$                    C.  $\cos 150^{\circ }$                    D.  $\sin 150^{\circ }$

Rozwiązanie

$\mathrm{tg}120^{\circ }=\mathrm{tg}\left(180^{\circ }-60^{\circ }\right)=-\mathrm{tg}60^{\circ }=-\sqrt{3}$

$\frac{1}{2}\mathrm{tg}120^{\circ }=\frac{1}{2}\cdot \left(-\sqrt{3}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$

A.  $\mathrm{tg}60^{\circ }=$ (powiedzieć może: funkcje trygonometryczne kątów ostrych są zawsze liczbami dodatnimi, czyli tg60 i cos30 są większe od zera, więc możemy od razu odrzucić te odpowiedzi.

B.  $\cos 30^{\circ }=$

C.  $\cos 150^{\circ }=\cos \left(180^{\circ }-30^{\circ }\right)=-\cos 30^{\circ }=-\frac{\sqrt{3}}{2}$

D.  $\sin 150^{\circ }=\sin \left(180^{\circ }-30^{\circ }\right)=\sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}$

 

---

 

 

Zadanie x. Dokończ zdanie. Zaznacz dwie odpowiedzi, tak aby dla każdej z nich dokończenie zdania było prawdziwe.

Liczbą dodatnią jest liczba

A.  $\sin 155^{\circ }$

B.  $\cos 155^{\circ }$

C.  $\mathrm{tg}155^{\circ }$

D.  $\mathrm{tg}130^{\circ }+\cos 130^{\circ }$

E.  $\cos 120^{\circ }-\sin 120^{\circ }$

F.  $\cos 60^{\circ }-\cos 120^{\circ }$

 

 

---

 

Zadanie x. Kąt $\alpha$ jest ostry i $\cos \alpha =\frac{\sqrt{7}}{3}$.

Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wartość wyrażenia ${\sin }^2\left(90^{\circ }-\alpha \right)$ jest równa

A.  $\frac{2}{9}$                         B.  $\frac{7}{9}$                         C.  $\frac{\sqrt{2}}{3}$                         D.  $\frac{\sqrt{7}}{3}$

Rozwiązanie

${\sin }^2\left(90^{\circ }-\alpha \right)={\left[\sin \left(90^{\circ }-\alpha \right)\right]}^2={\left(\cos \alpha \right)}^2={\left(\frac{\sqrt{7}}{3}\right)}^2=\frac{7}{9}$