Własności potęg

1. Iloczyn potęg o tych samych podstawach

$a^n\cdot a^m=a^{n+m}$

2. Iloraz potęg o tych samych podstawach

$\frac{a^n}{a^m}=a^{n-m}$

3. Potęga potęgi

${\left(a^n\right)}^m=a^{n\cdot m}$

gdzie a ≠ 0, n, m - liczby naturalne

---

a)

Korzystamy ze wzoru na potęgowanie potęgi.

${\left(2^3\right)}^4=2^{3\cdot 4}=\underline{\underline{2^{12}}}$

---

b)

Zauważmy, że 

$4=2^2$

Stąd mamy, że dane wyrażenie jest równe

$4\cdot 2^{15}=2^2\cdot 2^{15}=2^{2+15}=\underline{\underline{2^{17}}}$

---

c)

Zauważmy, że 

$4=2^2$

Stąd mamy, że dane wyrażenie jest równe

$4^5\cdot 2^3={\left(2^2\right)}^5\cdot 2^3=2^{2\cdot 5}\cdot 2^3=2^{10}\cdot 2^3=2^{10+3}=\underline{\underline{2^{13}}}$

---

d)

Zauważmy, że

$8=2^3,16=2^4$

Stąd mamy, że dane wyrażenie jest równe

$\frac{8^3}{16^2}=\frac{{\left(2^3\right)}^3}{{\left(2^4\right)}^2}=\frac{2^{3\cdot 3}}{2^{4\cdot 2}}=\frac{2^9}{2^8}=2^{9-8}=\underline{\underline{2^1}}$

---

e)

Zauważmy, że 

$4=2^2$

Stąd mamy, że dane wyrażenie jest równe

$4^{10}:2^7={\left(2^2\right)}^{10}:2^7=2^{2\cdot 10}:2^7=2^{20}:2^7=2^{20-7}=\underline{\underline{2^{13}}}$

---

f)

Zauważmy, że

$8=2^3,16=2^4$

Stąd mamy, że dane wyrażenie jest równe

$\frac{2\cdot 16^3}{8^4}=\frac{2\cdot {\left(2^4\right)}^3}{{\left(2^3\right)}^4}=\frac{2\cdot 2^{4\cdot 3}}{2^{3\cdot 4}}=\frac{2\cdot {\cancel{2^{12}}}^1}{{}_1\cancel{2^{12}}}=2=\underline{\underline{2^1}}$