Własności potęg

1. Iloczyn potęg o tych samych podstawach

$a^n\cdot a^m=a^{n+m}$

2. Iloraz potęg o tych samych podstawach

$\frac{a^n}{a^m}=a^{n-m}$

3. Potęga potęgi

${\left(a^n\right)}^m=a^{n\cdot m}$

4. Potęgowanie iloczynu

${\left(a\cdot b\right)}^n=a^n\cdot b^n$

5. Potęgowanie ilorazu

${\left(\frac{a}{b}\right)}^n=\frac{a^n}{b^n}$

gdzie $a,b\ne 0,m,n$- liczby naturalne

---

a)

Korzystamy z praw działań na potęgach.

$\frac{{\left(2^{19}\cdot 2^{21}\right)}^3}{2^{118}}=\frac{{\left(2^{19+21}\right)}^3}{2^{118}}=\frac{{\left(2^{40}\right)}^3}{2^{118}}=\frac{2^{40\cdot 3}}{2^{118}}=\frac{2^{120}}{2^{118}}=2^{120-118}=2^2=\underline{\underline{4}}$

---

b)

Korzystamy z praw działań na potęgach.

$\frac{15^{30}\cdot 32^6}{81^7\cdot 10^{30}}=\frac{{\left(5\cdot 3\right)}^{30}\cdot {\left(2^5\right)}^6}{{\left(3^4\right)}^7\cdot {\left(5\cdot 2\right)}^{30}}=\frac{5^{30}\cdot 3^{30}\cdot 2^{5\cdot 6}}{3^{4\cdot 7}\cdot 5^{30}\cdot 2^{30}}=$

$=\frac{\cancel{5^{30}}\cdot 3^{30}\cdot \cancel{2^{30}}}{3^{28}\cdot \cancel{5^{30}}\cdot \cancel{2^{30}}}=\frac{3^{30}}{3^{28}}=3^{30-28}=3^2=\underline{\underline{9}}$