Znajdź taką liczbę naturalną dodatnią...- Zadanie 10: Matematyka z kluczem 7

Rozwiązanie

Mamy znaleźć taką liczbę $n$ , dla której liczby $3 3 \cdot n$ oraz $4 4 \cdot n$ są liczbami naturalnymi.

Zauważmy, że:

$3 3 \cdot 3^{8} \cdot 4^{3} = 3 3^{9} \cdot 4^{3} = 3 3^{9} \cdot 3 4^{3} = 3 (3^{3})^{3} \cdot 4 = 3^{3} \cdot 4 = 27 \cdot 4 = 108$

$4 4 \cdot 3^{8} \cdot 4^{3} = 4 3^{8} \cdot 4^{4} = 4 3^{8} \cdot 4 4^{4} = 4 (3^{2})^{4} \cdot 4 = 3^{2} \cdot 4 = 9 \cdot 4 = 36$

Oba pierwiastki są liczbami naturalnymi. Liczba $3^{8} \cdot 4^{3}$ jest liczbą naturalną dodatnią. Stąd wnioskujemy, że

$n = 3^{8} \cdot 4^{3}$

Zauważmy teraz, że jeśli liczba $n$ będzie iloczynem liczb $3^{8}$ i $4^{3}$ oraz potęgi, której podstawą jest dowolna liczba naturalna a wykładnik jest równy $12$ , to wartości podanych pierwiastków będą liczbami naturalnymi.

Przykładowo:

$n = 3^{8} \cdot 4^{3} \cdot 6^{12}$

wtedy:

$3 3 \cdot 3^{8} \cdot 4^{3} \cdot 6^{12} = 3 3^{9} \cdot 4^{3} \cdot 6^{12} = 3^{3} \cdot 4 \cdot 6^{4}$

$4 4 \cdot 3^{8} \cdot 4^{3} \cdot 6^{12} = 4 3^{8} \cdot 4^{4} \cdot 6^{12} = 3^{2} \cdot 4 \cdot 6^{3}$

To oznacza, że liczbą $n$ może być dowolna liczba postaci:

$n = 3^{8} \cdot 4^{3} \cdot 7^{12}$

gdzie w miejsce $2$ możemy wpisać dowolną liczbę naturalną. Stąd wnioskujemy, że takich liczb $n$ , które spełniają warunki zadania, jest nieskończenie wiele.