Twierdzenie Pitagorasa Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.

---

a)

Dany jest trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości $16\mathrm{cm}$ i $30\mathrm{cm}$.

Aby obliczyć długość przeciwprostokątnej (oznaczonej jako $x$), skorzystamy z twierdzenia Pitagorasa:

$16^2+30^2=x^2$

$256+900=x^2$

$x^2=1156|\sqrt{}x>0$

$x=\sqrt{1156}$

Rozłóżmy liczbę $1156$ na czynniki pierwsze:

$\begin{array}{r}1156\\ 578\\ 289\\ 17\\ 1\end{array}|\begin{array}{l}2\\ 2\\ 17\\ 17\\ \end{array}$

Mamy zatem:

$x=\sqrt{1156}=\sqrt{2\cdot 2\cdot 17\cdot 17}=\sqrt{34\cdot 34}$

$\underline{x=34\text{[cm]}}$

---

b)

Dany jest trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości $8\sqrt{2}\mathrm{cm}$ i $8\sqrt{7}\mathrm{cm}$.

Aby obliczyć długość przeciwprostokątnej (oznaczonej jako $x$), skorzystamy z twierdzenia Pitagorasa:

${\left(8\sqrt{2}\right)}^2+{\left(8\sqrt{7}\right)}^2=x^2$

$64\cdot 2+64\cdot 7=x^2$

$128+448=x^2$

$x^2=576|\sqrt{}x>0$

$x=\sqrt{576}$

Rozłóżmy liczbę $576$ na czynniki pierwsze:

$\begin{array}{r}576\\ 288\\ 144\\ 72\\ 36\\ 18\\ 9\\ 3\\ 1\end{array}|\begin{array}{l}2\\ 2\\ 2\\ 2\\ 2\\ 2\\ 3\\ 3\\ \end{array}$

Zatem:

$x=\sqrt{576}=\sqrt{2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 3}=\sqrt{64\cdot 9}$

$x=8\cdot 3=\underline{24\text{[cm]}}$

Pomocnicze obliczenia:

$(1)\begin{array}{r}\stackrel{2}{6}4\\ \underline{\cdot 7}\\ 448\end{array}$          $(2)\begin{array}{r}1\stackrel{1}{2}8\\ \underline{+448}\\ 576\end{array}$

---

c)

Dany jest trójkąt prostokątny o krótszej przyprostokątnej długości $5\sqrt{17}\mathrm{cm}$ i przeciwprostokątnej długości $35\mathrm{cm}$.

Aby obliczyć długość dłuższej przyprostokątnej (oznaczonej jako $x$), skorzystamy z twierdzenia Pitagorasa:

${\left(5\sqrt{17}\right)}^2+x^2=35^2$

$25\cdot 17+x^2=1225$

$425+x^2=1225|-425$

$x^2=800|\sqrt{}x>0$

$x=\sqrt{800}=\sqrt{400\cdot 2}$

$\underline{x=20\sqrt{2}\text{[cm]}}$

Pomocnicze obliczenia:

$(1)\begin{array}{r}\stackrel{3}{2}5\\ \underline{\cdot 17}\\ 175\\ \underline{+25}\\ 425\end{array}$        $(2)\begin{array}{r}\stackrel{2}{3}5\\ \underline{\cdot 35}\\ 175\\ \underline{+105}\\ 1225\end{array}$