Treść:

Funkcja f jest określona wzorem

$f\left(x\right)=\frac{3x^2-2x}{x^2+2x+8}$

dla każdej liczby rzeczywistej x.

Punkt P=(x₀, 3) należy do wykresu funkcji f. 

Oblicz x₀ oraz wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji f w punkcie P.

Zapisz obliczenia.

---

Rozwiązanie:

Z treści zadania wiemy, że:

$f\left(x\right)=\frac{3x^2-2x}{x^2+2x+8},x\in \mathbb{R}$

Punkt P(x₀, 3) należy do wykresu funkcji f, zatem chcąc wyznaczyć wartość x0 należy rozwiązać równanie:

$3=\frac{3x_0^2-2x_0}{x_0^2+2x_0+8}$  

$3\left(x_0^2+2x_0+8\right)=3x_0^2-2x_0$

$3x_0^2+6x_0+24=3x_0^2-2x_0$

$8x_0=-24\mid :8$

$x_0=-3$     

Wyznaczamy pochodną funkcji f:

$f{}^{\prime }\left(x\right)=\frac{\left(6x-2\right)\left(x^2+2x+8\right)-\left(3x^2-2x\right)\left(2x+2\right)}{{\left(x^2+2x+8\right)}^2}=$

$=\frac{6x^3+12x^2+48x-2x^2-4x-16-6x^3-6x^2+4x^2+4x}{{\left(x^2+2x+8\right)}^2}=$   

$=\frac{8x^2+48x-16}{{\left(x^2+2x+8\right)}^2},x\in \mathbb{R}$  

Wyznaczamy wartość funkcji pochodnej w punkcie x₀=-3:

$f{}^{\prime }\left(-3\right)=\frac{8\cdot {\left(-3\right)}^2+48\cdot \left(-3\right)-16}{{\left({\left(-3\right)}^2+2\cdot \left(-3\right)+8\right)}^2}=$

$=\frac{72-144-16}{{\left(9-6+8\right)}^2}=\frac{-88}{{\left(11\right)}^2}=-\frac{8}{11}$   

Zapisujemy równanie stycznej korzystając ze wzoru:

$y=f{}^{\prime }\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)+f\left(x_0\right)$

wobec tego:

$y=-\frac{8}{11}\left(x+3\right)+3=-\frac{8}{11}x-\frac{24}{11}+3=-\frac{8}{11}x-\frac{24}{11}+\frac{33}{11}=\underline{\underline{-\frac{8}{11}x+\frac{9}{11}}}$