Treść:

Liczby rzeczywiste x oraz y spełniają jednocześnie równanie x+y=4 i nierówność x³-x²y≤xy²-y³.

Wykaż, że x=2 oraz y=2.

---

Rozwiązanie:

Rozwiążemy układ:

$\{\begin{array}{l}x+y=4\\ x^3-x^{2}y\le x{y}^2-y^3\end{array}$  

Z równania wyznaczamy x:

$\{\begin{array}{l}x=4-y\\ x^3-x^{2}y\le x{y}^2-y^3\end{array}$  

Podstawiamy 4-y w miejsce x do nierówności i obliczamy y:

${\left(4-y\right)}^3-{\left(4-y\right)}^2\cdot y\le \left(4-y\right)\cdot y^2-y^3$  

Po lewej stronie nierówności wyłączamy (4-y)² poza nawias, a po prawej stronie nierówności wyłączamy y² poza nawias:

${\left(4-y\right)}^2\cdot \left(4-y-y\right)\le y^2\cdot \left(4-y-y\right)$  

${\left(4-y\right)}^2\cdot \left(4-2y\right)\le y^2\cdot \left(4-2y\right)$  

Przenosimy wszystko na lewą stronę nierówności:

${\left(4-y\right)}^2\cdot \left(4-2y\right)-y^2\cdot \left(4-2y\right)\le 0$  

Wyłączamy 4-2y poza nawias:

$\left(4-2y\right)\cdot \left[{\left(4-y\right)}^2-y^2\right]\le 0$  

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia (a-b)²=a²-2ab+b²:

$\left(4-2y\right)\cdot \left(4^2-2\cdot 4\cdot y+y^2-y^2\right)\le 0$  

$\left(4-2y\right)\cdot \left(16-8y+\cancel{y^2}-\cancel{y^2}\right)\le 0$  

$\left(4-2y\right)\cdot \left(16-8y\right)\le 0$  

Wyłączamy 2 i 8 poza nawias:

$2\cdot \left(2-y\right)\cdot 8\cdot \left(2-y\right)\le 0$  

$16\cdot {\left(2-y\right)}^2\le 0\mid :16$  

${\left(2-y\right)}^2\le 0$  

Przypomnijmy, że kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest liczbą nieujemną (dodatnią lub równą 0).

To oznacza, że powyższa nierówność jest spełniona, gdy:

$2-y=0$  

A stąd:

$\underline{\underline{y=2}}$  

Zatem:

$\{\begin{array}{l}x=4-y\\ y=2\end{array}$  

Podstawiamy 2 w miejsce y do pierwszego równania i obliczamy x:

$\{\begin{array}{l}x=4-2\\ y=2\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=2\\ y=2\end{array}$  

Pokazaliśmy, że x=2 oraz y=2.

Co należało wykazać.