Treść:

Tomek i Romek postanowili rozegrać między sobą pięć partii szachów. Prawdopodobieństwo wygrania pojedynczej partii przez Tomka jest równe ¼.

Oblicz prawdopodobieństwo wygrania przez Tomka co najmniej czterech z pięciu partii. Wynik podaj w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego. Zapisz obliczenia.

---

Rozwiązanie:

Prawdopodobieństwo, że Tomek wygra co najmniej w czterech partiach szachów obliczymy korzystając ze wzoru na prawdopodobieństwo w schemacie Bernoulliego.

Prawdopodobieństwo sukcesu (wygranej Tomka w pojedynczej partii) jest równe

$p=\frac{1}{4}$  

Liczba rozegranych partii wynosi

$n=5$  

Niech k oznacza liczbę osiągniętych sukcesów (liczbę wygranych partii). 

Przypomnijmy, że prawdopodobieństwo osiągnięcia k sukcesów w n próbach Bernoulliego jest równe:

$P_n\left(k\right)=\left(\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right)p^k{\left(1-p\right)}^{n-k}$  

Prawdopodobieństwo wygranej Tomka co najmniej cztery razy w pięciu partiach jest równe prawdopodobieństwu, że wygra cztery lub pięć razy. Stąd szukane prawdopodobieństwo jest równe:

$P_5\left(k\ge 4\right)=\underset{\text{wygra 4 razy}}{\underbrace{P_5\left(k=4\right)}}+\underset{\text{wygra 5 razy}}{\underbrace{P_5\left(k=5\right)}}$  

Korzystamy ze wzoru na prawdopodobieństwo w schemacie Bernoulliego:

$P_5\left(k=4\right)=\left(\begin{array}{c}5\\ 4\end{array}\right)\cdot {\left(\frac{1}{4}\right)}^4\cdot {\left(1-\frac{1}{4}\right)}^{5-4}=\frac{5!}{4!\cdot \left(5-4\right)!}\cdot \frac{1}{256}\cdot {\left(\frac{3}{4}\right)}^1=$  

$=\frac{{\cancel{4!}}^1\cdot 5}{{\cancel{4!}}_1\cdot 1}\cdot \frac{3}{1024}=\frac{15}{1024}$  

$P_5\left(k=5\right)=\left(\begin{array}{c}5\\ 5\end{array}\right)\cdot {\left(\frac{1}{4}\right)}^5\cdot {\left(1-\frac{1}{4}\right)}^{5-5}=1\cdot \frac{1}{1024}\cdot \underset{1}{\underbrace{{\left(\frac{3}{4}\right)}^0}}=\frac{1}{1024}$  

Zatem 

$P_5\left(k\ge 4\right)=\frac{15}{1024}+\frac{1}{1024}=\frac{16}{1024}=\underline{\underline{\frac{1}{64}}}$  

---

Odp.: Prawdopodobieństwo wygranej Tomka w co najmniej czterech z pięciu partii szachów jest równe ¹/₆₄.