Treść:

W chwili początkowej (t=0) masa substancji jest równa 4 gramom. Wskutek rozpadu cząsteczek tej substancji jej masa się zmniejsza. Po każdej kolejnej dobie ubywa 19% masy, jaka była na koniec doby poprzedniej. Dla każdej liczby całkowitej t ≥ 0 funkcja m(t) określa masę substancji w gramach po t pełnych dobach (czas liczymy od chwili początkowej).

Wyznacz wzór funkcji m(t). Oblicz, po ilu pełnych dobach masa tej substancji będzie po raz pierwszy mniejsza od 1,5 grama.

Zapisz obliczenia.

---

Rozwiązanie:

Z treści zadania wiadomo, że w chwili początkowej t=0 masa substancji wynosiła 4 gramy, czyli 

• $m\left(0\right)=4$  

następnie po pierwszej pełnej dobie, ubyło 19% początkowej masy substancji, czyli 

• $m\left(1\right)=0,81\cdot m\left(0\right)=0,81\cdot 4$  

po drugiej pełnej dobie ubyło 19% masy substancji, która została po pierwszej dobie, czyli 

• $m\left(2\right)=0,81\cdot m\left(1\right)=0,81\cdot 0,81\cdot 4=0,81^2\cdot 4$  

zauważmy, że liczby m(0), m(1), m(2), ... tworzą ciąg geometryczny o pierwszym wyrazie równym 4 i ilorazie 0,81, czyli po t pełnych dobach mamy 

• $m\left(t\right)={0,81}^t\cdot 4$  

Zatem wzór funkcji jest postaci 

$\mathbf{m}\left(\mathbf{t}\right)={0,81}^{\mathbf{t}}\cdot 4$  

gdzie t jest liczbą całkowitą nieujemną. 

Obliczymy po ilu pełnych dobach masa substancji będzie po raz pierwszy mniejsza od 1,5 grama. 

Mamy 

$m\left(1\right)=0,81\cdot 4=3,24$  

$m\left(2\right)={0,81}^2\cdot 4\approx 2,62$  

$m\left(3\right)={0,81}^3\cdot 4\approx 2,1$  

$m\left(4\right)={0,81}^4\cdot 4\approx 1,72$  

$m\left(5\right)={0,81}^5\cdot 4\approx \underline{\underline{1,4}}$  

czyli po pełnych pięciu dobach masa substancji będzie po raz pierwszy mniejsza od 1,5 grama.