Rozważmy wszystkie graniastosłupy prawidłowe trójkątne...- Zadanie 16.24: Matematyka. Zbiór Zadań Maturalnych Lata 2002-2022. Poziom rozszerzony 500 zadań CKE z rozwiązaniami

Rozwiązanie

Rozważamy wszystkie graniastosłupy prawidłowe trójkątne o objętości

$V = 2$

Podstawą graniastosłupa jest trójkąt równoboczny o boku długości a. Niech wysokość będzie oznaczona jako H. Pole podstawy graniastosłupa ze wzoru na pole trójkąta równobocznego możemy zapisać jako

$P_{p} = \frac{a ^{2} 3}{4}$

Objętość graniastosłupa wynosi

$V = P_{p} \cdot H = \frac{a ^{2} 3}{4} \cdot H$

Wiemy, że objętość jest równa 2. Wyznaczamy wysokość graniastosłupa w zależności od a.

$\frac{a ^{2} 3}{4} \cdot H = 2 ∣ \cdot \frac{4}{a ^{2} 3}$

$H = \frac{8}{a ^{2} 3}$

Wyznaczamy pole powierzchni całkowitej w zależności od zmiennej a.

$P_{b} = 2 P_{p} + P_{b}$

Pole powierzchni bocznej jest równe sumie pól trzech ścian bocznych. Każda ściana boczna jest prostokątem o bokach długości a i H. Stąd mamy, że

$P_{b} = 3 \cdot a \cdot H = 3 a \cdot \frac{8}{a ^{2} 3} = \frac{24}{a 3}$

Zatem pole powierzchni całkowitej graniastosłupa wyraża się wzorem

$P (a) = 2 P_{p} + P_{b} = 2 \cdot \frac{a ^{2} 3}{4} + \frac{24}{a 3} = \frac{a ^{2} 3}{2} + \frac{24}{a 3} = \frac{a ^{2} 3 \cdot 3 a}{2 \cdot 3 a} + \frac{24 \cdot 2 3}{a 3 \cdot 2 3 = \frac{3 3 a ^{3}}{6 a} + \frac{48 3}{6 a}} = \frac{3 3 ( a ^{3} + 16 )}{6 a} = \frac{3 ( a ^{3} + 16 )}{2 a}$

Długości krawędzi graniastosłupa są liczbami dodatnimi. Zakładamy, zatem, że

$a > 0$

To oznacza, że dziedziną funkcji P jest zbiór

$D = (0, \infty)$

Mamy wyznaczyć długości krawędzi graniastosłupa o najmniejszym polu powierzchni całkowitej. Szukamy zatem argumentu, dla którego funkcja P osiąga wartość najmniejszą.

Funkcja P jest ciągła i różniczkowalna w swojej dziedzinie. Wyznaczamy pochodną funkcji P.

$P^{'} (a) = 3 \cdot \frac{( a ^{3} + 16 ) ^{'} \cdot 2 a - ( a ^{3} + 16 ) \cdot ( 2 a ) ^{'}}{( 2 a ) ^{2}} = 3 \cdot \frac{3 a ^{2} \cdot 2 a - a ^{3} \cdot 2 - 16 \cdot 2}{4 a ^{2}} = 3 \cdot \frac{6 a ^{3} - 2 a ^{3} - 32}{4 a ^{2}} = 3 \cdot \frac{4 a ^{3} - 32}{4 a ^{2}}$

Wyznaczamy miejsca zerowe pochodnej.

$P^{'} (a) = 0 3 \cdot \frac{4 a ^{3} - 32}{4 a ^{2}} = 0$

Stąd

$4 a^{3} - 32 = 0$

$4 a^{3} = 32$

$a^{3} = 8$

Zatem

$a = 2 \in D$

Mianownik ułamka we wzorze pochodnej jest zawsze dodatni. To oznacza, że znak pochodnej zależy od znaku licznika ułamka, czyli od wyrażenia 4a³-32. Sporządzamy szkic znakowy pochodnej.

Odczytujemy z rysunku, dla jakich argumentów pochodna przyjmuje wartości dodatnie, a dla jakich osiąga wartości ujemne. Tym samym otrzymujemy przedziały monotoniczności funkcji P. Funkcja P osiąga minimum lokalne dla a=2. Jest to jedyne ekstremum funkcji P, zatem dla a=2 funkcja P osiąga również wartość najmniejszą.

To oznacza, że krawędź podstawy graniastosłupa o najmniejszym polu powierzchni ma długość

$a = \underline{\underline{2}}$