Wykonajmy rysunek pomocniczy.

Z treści zadania wiemy, że   

$a+h=2$  

$h=2-a$  

Zauważmy, że

$a>b$

---

a)

Mamy założenia

$$\begin{gathered} a>0\wedge h>0 \\ a>0\wedge 2-a>0 \\ a>0\wedge a<2 \end{gathered}$$

Stąd

$a\in \left(0,2\right)$ 

Dodatkowo z warunków zadania wynika, że 

$$\begin{gathered} a>h \\ a>2-a \\ 2a>2 \\ a>1 \\ a\in \left(1,+\infty \right) \end{gathered}$$

Zatem trapez o podanych własnościach istnieje, gdy

$\underline{a\in \left(1,2\right)}$  

---

b)

Skoro w trapez można wpisać okrąg to spełniony jest następujący warunek

$$\begin{gathered} a+b=c+c \\ a+b=2c(\ast ) \end{gathered}$$  

Trapez jest równoramienny, więc odcinek AE ma długość

$\left|AE\right|=\frac{a-b}{2}$  

Zatem z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta AFD mamy

$$\begin{gathered} {\left(\frac{a-b}{2}\right)}^2+h^2=c^2 \\ {\left(\frac{a-b}{2}\right)}^2+h^2={\left(\frac{a+b}{2}\right)}^2 \\ \frac{a^2-2ab+b^2}{4}+h^2=\frac{a^2+2ab+b^2}{4}|-\frac{a^2-2ab+b^2}{4} \\ {h}^2=\frac{a^2+2ab+b^2-a^2+2ab-b^2}{4} \\ {h}^2=\frac{4ab}{4} \\ {h}^2=ab \end{gathered}$$ 

A stąd

$$\begin{gathered} {\left(2-a\right)}^2=ab \\ 4-4a+a^2=ab|:a \\ b=\frac{a^2-4a+4}{a} \end{gathered}$$  

Obliczmy obwód tego trapezu.

$L_{ABCD}=a+b+2c\stackrel{(\ast )}{=}a+b+a+b=2\left(a+b\right)$  

Otrzymujemy zatem funkcję

$L\left(a\right)=2\cdot \left(a+\frac{a^2-4a+4}{a}\right)=2\cdot \left(\frac{a^2}{a}+\frac{a^2-4a+4}{a}\right)=2\cdot \frac{2a^2-4a+4}{a}=\frac{4a^2-8a+8}{a}$  

Zatem

$\underline{L\left(a\right)=\frac{4a^2-8a+8}{a}}$

gdzie

$a\in \left(1,2\right)$

która wyraża obwód tego trapezu w zależności od wartości a będącej dłuższą podstawą trapezu, co było do wykazania.

---

c)

Obwód jest najmniejszy, gdy funkcja L przyjmuje najmniejszą wartość. Obliczmy pochodną

$L{}^{\prime }\left(a\right)=\frac{\left(4a^2-8a+8\right){}^{\prime }\cdot a-\left(4a^2-8a+8\right)\cdot a{}^{\prime }}{a^2}=\frac{\left(8a-8\right)\cdot a-\left(4a^2-8a+8\right)}{a^2}=\frac{8a^2-8a-4a^2+8a-8}{a^2}=\frac{4a^2-8}{a^2}$  

Rozwiążmy

$$\begin{gathered} L^{\prime }(a)=0 \\ \frac{4a^2-8}{a^2}=0 \\ 4a^2-8=0 \\ {a}^2-2=0 \\ (a-\sqrt{2})(a+\sqrt{2})=0 \\ a-\sqrt{2}=0\vee a+\sqrt{2}=0 \\ a=\sqrt{2}\vee a=-\sqrt{2} \end{gathered}$$

Zauważmy, że

$a^2>0,a\in \left(1,2\right)$

Zatem o znaku pochodnej decyduje licznik. Wykonajmy rysunek poglądowy.

A stąd widzimy, że funkcja najpierw maleje a potem rośnie (ze względu na znak pochodnej). Mamy w punkcie

$a=\sqrt{2}$

minimum, a stąd wartość najmniejszą na naszym przedziale. Obliczmy

$b=\frac{a^2-4a+4}{a}=\frac{{\sqrt{2}}^2-4\sqrt{2}+4}{\sqrt{2}}=\frac{2-4\sqrt{2}+4}{\sqrt{2}}=\frac{6-4\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{6\sqrt{2}-8}{2}=3\sqrt{2}-4$  

$h=2-a=2-\sqrt{2}$  

$\left|AE\right|=\frac{a-b}{2}=\frac{\sqrt{2}-\left(3\sqrt{2}-4\right)}{2}=\frac{\sqrt{2}-3\sqrt{2}+4}{2}=\frac{4-2\sqrt{2}}{2}=2-\sqrt{2}$  

Wyznaczmy tangens kąta ostrego trapezu o najmniejszym obwodzie wykorzystując trójkąt prostokątny DAE.

$\text{tg}|\sphericalangle DAE|=\frac{h}{\left|AE\right|}=\frac{2-\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}}=1$