Wykonajmy rysunek trójkąta ABC wraz z dwusieczną AD.

Wówczas równość, którą mamy wykazać w zadaniu możemy zapisać jako

$a^2-b^2=bc$

Zauważmy, że trójkąt ABD jest równoramienny, ponieważ

$\left|\sphericalangle DAB\right|=\left|\sphericalangle DBA\right|=\alpha$   

Stąd

$\left|AD\right|=\left|DB\right|=a-x$  

Następnie zauważmy, że 

$\left|\sphericalangle ADB\right|={180}^{\circ }-2\alpha$

a więc 

$\left|\sphericalangle ADC\right|=2\alpha$  

jako kąty przyległe. Skąd na podstawie cechy kąt-kąt-kąt dostajemy, że trójkąty ABC i ADC są podobne. Zatem długości odpowiednich boków w tych trójkątach są proporcjonalne.

$$\begin{gathered} \frac{a}{b}=\frac{b}{x} \\ x=\frac{b^2}{a} \end{gathered}$$

Oraz

$$\begin{gathered} \frac{a-x}{b}=\frac{c}{a} \\ a-x=\frac{bc}{a} \end{gathered}$$

Dostajemy, że

$\frac{bc}{a}=a-x=a-\frac{b^2}{a}$

Zatem

$\frac{bc}{a}=a-\frac{b^2}{a}|\cdot a\ne 0$

$bc=a^2-b^2$

co należało wykazać.