Wykonajmy rysunek pomocniczy.

Aby udowodnić, że na czworokącie KLMN można opisać okrąg, wystarczy wykazać, że suma miar dwóch przeciwległych kątów tego czworokąta jest równa 180°. Zgodnie z oznaczeniami na rysunku w trójkącie ABC zachodzi

$$\begin{gathered} 2\alpha +2\beta +2\gamma =180^{\circ } \\ \alpha +\beta +\gamma =90^{\circ } \end{gathered}$$

Zauważmy, że

$\left|\sphericalangle DKA\right|=90^{\circ }-\alpha$

Zatem jako kąt przyległy

$\left|\sphericalangle NKL\right|=180^{\circ }-\left|\sphericalangle DKA\right|=180^{\circ }-\left(90^{\circ }-\alpha \right)=90^{\circ }+\alpha$

Podobnie

$\left|\sphericalangle LMN\right|=180^{\circ }-\left|\sphericalangle CMF\right|-\left|\sphericalangle BMN\right|=180^{\circ }-\left(90^{\circ }-\gamma \right)-\left(90^{\circ }-\beta \right)=180^{\circ }-90^{\circ }+\gamma -90^{\circ }+\beta =\beta +\gamma$

A stąd

$\left|\sphericalangle NKL\right|+\left|\sphericalangle LMN\right|=90^{\circ }+\underset{90^{\circ }}{\underbrace{\alpha +\beta +\gamma }}=90^{\circ }+90^{\circ }=180^{\circ }$

Zatem na czworokącie KLMN da się opisać okrąg, co należało udowodnić.