Wszystkie wyrazy ciągu geometrycznego (a_n) są dodatnie, a więc:

$a_n>0,q>0$

Wiemy również, że:

$a_1=675$

oraz

$a_{22}=\frac{5}{4}{a}_{23}+\frac{1}{5}{a}_{21}$

Wobec tego korzystając ze wzoru na n-ty wyraz w ciągu geometrycznym dostajemy:

$a_1\cdot q^{22-1}=\frac{5}{4}\cdot a_1\cdot q^{23-1}+\frac{1}{5}\cdot a_1\cdot q^{21-1}$      

$a_1\cdot q^{21}=\frac{5}{4}{a}_1{q}^{22}+\frac{1}{5}{a}_1{q}^{20}\mid :a_1\ne 0$  

$q^{21}=\frac{5}{4}{q}^{22}+\frac{1}{5}{q}^{20}\mid :q^{20}\ne 0$  

$q=\frac{5}{4}{q}^2+\frac{1}{5}$

$\frac{5}{4}{q}^2-q+\frac{1}{5}=0,\Delta ={\left(-1\right)}^2-4\cdot \frac{5}{4}\cdot \frac{1}{5}=1-1=0$

$q=\frac{1}{2\cdot \frac{5}{4}}=\frac{2}{5}$     

Zauważamy, że suma wyrazów nieskończonego ciągu geometryczny (a_n) jest szeregiem geometrycznym. Szereg ten jest zbieżny, ponieważ jest spełniony warunek

$q=\frac{2}{5}\in \left(-1,1\right)$  

Wyznaczamy sumę szeregu geometrycznego:

$S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{675}{1-\frac{2}{5}}=\frac{675}{\frac{3}{5}}=675\cdot \frac{5}{3}=225\cdot 5=1125$

---

Ciąg (b_n) jest arytmetyczny. Wiemy, że

$b_4=a_3$

Zatem

$b_4=a_3=a_1\cdot q^{3-1}=675\cdot q^2=675\cdot {\left(\frac{2}{5}\right)}^2=675\cdot \frac{4}{25}=27\cdot 4=108$

---

Aby wyznaczyć wartość b₁ należy rozwiązać równanie:

$1125=\frac{b_1+b_{25}}{2}\cdot 25\mid \cdot \frac{2}{25}$

$90=b_1+b_{25}$

$b_1=90-b_{25}$

Wyznaczamy wartość b₂₅ :

$b_4=b_1+3r$

$108=b_1+3r$

$3r=108-b_1$

Stąd

$b_{25}=b_1+24r=b_1+3r\cdot 8=b_1+\left(108-b_1\right)\cdot 8=b_1+864-8b_1=-7b_1+864$

Podstawiamy otrzymaną wartość do równania i otrzymujemy:

$b_1=90-b_{25}$

$b_1=90-\left(-7b_1+864\right)$

$b_1=90+7b_1-864$

$b_1=-774+7b_1$   

$6b_1=774\mid :6$

$b_1=129$     

---

Wartość wyrazu pierwszego ciągu arytmetycznego wynosi: b₁ = 129.