Przekształćmy nierówność

$$\begin{gathered} {\left(\frac{1}{5}x+\frac{4}{5}y\right)}^2<\frac{x^2+4y^2}{5} \\ \frac{1}{25}{x}^2+\frac{8}{25}xy+\frac{16}{25}{y}^2<\frac{1}{5}{x}^2+\frac{4}{5}{y}^2 \\ \frac{4}{25}{x}^2-\frac{8}{25}xy+\frac{4}{25}{y}^2>0 \\ \frac{4}{25}\left(x^2-2xy+y^2\right)>0 \\ {x}^2-2xy+y^2>0 \end{gathered}$$

Ze wzory skróconego mnożenia

${\left(x-y\right)}^2>0$

Wiemy, że

$x\ne y$

Zatem powyższa nierówność jest spełniona dl wszystkich liczb rzeczywistych różnych od siebie, co należało wykazać.