Informacja do zadań 85.1 i 85.2:

Punkt O=(2,1) jest środkiem przekątnej AC równoległoboku ABCD.

Wektor  AD ma współrzędne

$\overrightarrow{AD}=\left[2,6\right]$  

Środek odcinka AD ma współrzędne

$S=\left(0,\frac{5}{2}\right)$  

---

Mamy wyznaczyć współrzędne środków pozostałych boków równoległoboku.

Sporządzamy rysunek pomocniczy.  Przyjmujemy oznaczenia takie jak na rysunku.

Rysunek:

Aby wyznaczyć współrzędne pozostałych środków boków, obliczymy najpierw współrzędne wierzchołków równoległoboku.

---

1. Wyznaczamy współrzędne wierzchołka A. 

Zauważmy, że wektory AO i OC są równe - mają taki sam kierunek i zwrot i są tej samej długości. To oznacza, że

$\overrightarrow{AO}=\frac{1}{2}\cdot \overrightarrow{AC}=\frac{1}{2}\cdot \left[2,6\right]=\left[1,3\right]$  

Oznaczmy współrzędne punktu A jako

$A=\left(x_A,y_A\right)$  

Z definicji współrzędnych wektora mamy:

$\overrightarrow{AO}=\left[x_O-x_A,y_O-y_A\right]=\left[2-x_A,1-y_A\right]$  

Stąd mamy, że

$\left[2-x_A,1-y_A\right]=\left[1,3\right]$  

Porównujemy współrzędne wektorów i mamy:

$\{\begin{array}{l}2-x_A=1\mid -2\\ 1-y_A=3\mid -1\end{array}$

$\{\begin{array}{l}-x_A=-1\mid \cdot \left(-1\right)\\ -y_A=2\mid \cdot \left(-1\right)\end{array}$  

Stąd punkt A ma współrzędne

$\{\begin{array}{l}{x}_A=1\\ y_A=-2\end{array}$  

$A=\left(1,-2\right)$  

---

2. Wyznaczamy współrzędne wierzchołka C. 

Oznaczmy

$C=\left(x_C,y_C\right)$  

Punkt O jest środkiem odcinka AC. Ze wzoru na współrzędne środka odcinka mamy

$\{\begin{array}{l}{x}_O=\frac{x_A+x_C}{2}\\ y_O=\frac{y_A+y_C}{2}\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}2=\frac{1+x_C}{2}\mid \cdot 2\\ 1=\frac{-2+y_C}{2}\mid \cdot 2\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}4=1+x_C\\ 2=-2+y_C\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}-x_C=1-4\\ -y_C=-2-2\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}-x_C=-3\\ -y_C=-4\end{array}$  

Stąd

$\{\left(x_C=3\right),(y_C=4$  

Punkt C ma współrzędne 

$\underline{\underline{C=\left(3,4\right)}}$  

---

3. Wyznaczamy współrzędne wierzchołka D. 

Wiemy, że punkt S jest środkiem odcinka AD. Ze wzoru na współrzędne środka odcinka mamy:

$\{\begin{array}{l}{x}_S=\frac{x_A+x_D}{2}\\ y_S=\frac{y_A+y_D}{2}\end{array}$   

$\{\begin{array}{l}0=\frac{1+x_D}{2}\mid \cdot 2\\ \frac{5}{2}=\frac{-2+y_D}{2}\mid \cdot 2\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}0=1+x_D\\ 5=-2+y_D\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}-x_D=1\\ -y_D=-2-5\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}-x_D=1\\ -y_D=-7\end{array}$  

Stąd

$\{\begin{array}{l}{x}_D=-1\\ y_D=7\end{array}$  

Punkt D ma współrzędne 

$\underline{\underline{D=\left(-1,7\right)}}$  

---

4. Wyznaczamy współrzędne wierzchołka B. 

Wiemy, że punkt O jest środkiem odcinka BD, ponieważ przekątne równoległoboku przecinają się w połowie.Ze wzoru na współrzędne środka odcinka mamy:

$\{\begin{array}{l}{x}_O=\frac{x_B+x_D}{2}\\ y_O=\frac{y_B+y_D}{2}\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}2=\frac{x_B-1}{2}\mid \cdot 2\\ 1=\frac{y_B+7}{2}\mid \cdot 2\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}4=x_B-1\\ 2=y_B+7\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}-x_B=-1-4\\ -y_B=7-2\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}-x_B=-5\\ -y_B=5\end{array}$  

Stąd

$\{\begin{array}{l}{x}_B=5\\ y_B=-5\end{array}$  

Punkt B ma współrzędne 

$\underline{\underline{B=\left(5,-5\right)}}$  

---

Wyznaczamy środki boków AB, BC i CD. 

Przypomnijmy, że wierzchołki równoległoboku mają współrzędne

$A=\left(1,-2\right),B=\left(5,-5\right),C=\left(3,4\right),D=\left(-1,7\right)$  

Oznaczmy:

• $S_{\text{AB}}=\left(x,y\right)$  

Ze wzoru na współrzędne środka odcinka mamy:

$x=\frac{x_A+x_B}{2}=\frac{1+5}{2}=\frac{6}{2}=3$  

$y=\frac{y_A+y_B}{2}=\frac{-2-5}{2}=-\frac{7}{2}$  

Stąd

$S_{\text{AB}}=\left(3,-\frac{7}{2}\right)$  

---

• $S_{\text{BC}}=\left(x,y\right)$  

Ze wzoru na współrzędne środka odcinka mamy:

$x=\frac{x_B+x_C}{2}=\frac{5+3}{2}=\frac{8}{2}=4$  

$y=\frac{y_B+y_C}{2}=\frac{-5+4}{2}=-\frac{1}{2}$  

Stąd

$S_{\text{BC}}=\left(4,-\frac{1}{2}\right)$  

---

• $S_{\text{CD}}=\left(x,y\right)$  

Ze wzoru na współrzędne środka odcinka mamy:

$x=\frac{x_C+x_D}{2}=\frac{3-1}{2}=\frac{2}{2}=1$  

$y=\frac{y_C+y_D}{2}=\frac{4+7}{2}=\frac{11}{2}$  

Stąd

$S_{\text{CD}}=\left(1,\frac{11}{2}\right)$  

---

Odp. Środki pozostałych boków równoległoboku mają współrzędne

$\underline{\underline{S_{\text{AB}}=\left(3,-\frac{7}{2}\right)}},\underline{\underline{S_{\text{BC}}=\left(4,-\frac{1}{2}\right)}},\underline{\underline{S_{\text{CD}}=\left(1,\frac{11}{2}\right)}}$